見積もり $|\int_{\beta}\exp(iz^2)\ dz|$

Question

しましょう $R > 0$ 曲線を考えます $$\beta(t) = R\exp(it), \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \leq t \leq \pi/4.$$ 私はそれを示す必要があります $$\left|\int_{\beta}\exp(iz^2)\ dz \right| \leq \frac{\pi(1-\exp(-R^2))}{4R}.$$

試行：まあ、最尤推定を使用するだけだと思いましたが、行き詰まりました。曲線の弧の長さを計算しました$\beta$： $$l(\beta) = \int_0^{\pi/4}|\beta^{\prime}(t)|dt = \int_0^{\pi/4}|iR\exp(it)|\ dt = \int_0^{\pi/4}R^2\ dt = \frac{\pi R^2}{4}.$$ 今私は見つけたいです $M > 0$ そのような $|\exp(iz^2)|$ のために $z \in \ \text{Image}\ \beta $。

我々は持っています $|\exp(iz^2)| = \exp(-R^2\sin(2t))$。使用する$\sin(2t) \geq \frac{4}{\pi}t$ （私はそれがどのように真実であるかを理解していません）、 $t \in [0, \pi/4]$、それはそれをもたらします $$|\exp(iz^2)| \leq \exp\left(-R^2\frac{4}{\pi}t\right).$$ ここから、どうすればいいのかわかりません。

Answer 1

私たちが持っていることに注意してください

$$\begin{align} \left|\int_\beta e^{iz^2}\,dz\right|&=\left|\int_0^{\pi/4}e^{i(Re^{i\phi})^2}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &=\left|\int_0^{\pi/4}e^{iR^2e^{i2\phi}}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &=\left|\int_0^{\pi/4}e^{iR^2\cos(2\phi)}e^{-R^2\sin(2\phi)}\,iRe^{i\phi}\,d\phi\right|\\\\ &\le R\int_0^{\pi/4}e^{-(4R^2/\pi)\phi}\,d\phi \end{align}$$

ここで、推定値とともに三角不等式を使用しました $ \sin(2\phi)\ge \frac{4\phi}\pi$ ために $0\le \phi\le \pi/4$。

そして今、あなたは終えることができます。