프랙탈과 크기

프랙탈은 혼란스러운 디자인의 질서와 패턴을 보여주는 미친 모양입니다. 매력적인 곡선이 많습니다. 이 흥미로운 패턴은 고유한 특성으로 인해 개별적으로 연구되었습니다. 그 중 하나는 Sierpinski 삼각형 입니다.

시에르핀스키 삼각형은 기본적으로 정삼각형을 4개로 나누고(아래 이미지와 같이) 중앙 삼각형을 제거한 형태입니다. 그런 다음 해당 하위 삼각형을 다시 유사하게 4개의 정삼각형으로 나누고 중앙 삼각형을 제거합니다. 이 과정을 무한히 반복하며 그 과정에서 받은 복소 삼각형이 바로 시에르핀스키 삼각형이다. 이제 파스칼의 삼각형에서 모든 홀수는 검은색이고 짝수는 흰색이면 최종적으로 받는 것은 시에르핀스키 삼각형입니다. 예상치 못한, 맞죠?

프랙탈은 임의의 모양이나 패턴이 수학적으로 생성된 것만이 아닙니다. 인구 그래프에서도 나타났다. 식량은 선형적으로 증가하지만 인구는 기하급수적으로 증가하는 것으로 관찰되었습니다. 나중에 인구가 이러한 방식으로 계속 증가하지 않는다는 것이 밝혀졌습니다. 몇 년 동안 증가하다가 식량과 자원 부족으로 다시 감소했습니다. 이 인구 변화는 간단한 기능을 따랐습니다.

[위의 방정식을 (1)로 표시하십시오.]

여기서 X는 현재 연도의 인구이고 X_next는 X 이후 연도의 인구이며 r은 모델링되는 인구에 따라 조정될 수 있는 상수입니다. 시스템의 장기적인 동작을 관찰하기 위해 이 공식을 반복해서 반복하고 무슨 일이 일어나는지 확인했습니다. 이 프로세스를 반복이라고 합니다.

방정식 (1)은 'r'을 3.5로 하고 X의 값이 0과 1 사이에 불과하다는 가상의 상황을 가정하고 무한히 반복하여 그린 것입니다. 얻은 그래프는 다음과 같습니다.

이 그래프는 자기 유사성의 속성을 보여주기 때문에 프랙탈로 간주되었습니다. 그래프의 넓은 간격인 '순서 창'을 확대하면 해당 창에 동일한 원본 그래프가 다시 표시되는 것을 볼 수 있습니다. 확대하면 할수록 혼돈의 창에서 같은 그래프를 반복해서 찾게 된다. 이 프랙탈은 '무화과 나무'로 불렸습니다.

이전 기사 중 하나에서 언급했듯이 프랙탈은 거칠고 불규칙한 모양입니다. 이 거칠기와 불규칙성은 쉽게 계산할 수 있습니다. 어떻게? 프랙탈 차원을 계산하여. Felix Hausdorff 와 Abram Besicovitch 는 프랙탈의 차원이 정수가 아님을 발견했습니다. 그들은 프랙탈이 정수 차원 '사이' 차원을 갖는 곡선이라고 설명했습니다. 따라서 이러한 프랙탈 차원은 Hausdorff-Besicovitch 차원이라고도 합니다. 그러나 이러한 치수를 계산하는 방법은 무엇입니까? 치수를 쉽게 계산하는 데 사용할 수 있는 두 가지 주요 방법이 있습니다.

하나는 프랙탈이 가지는 자기유사성(self-similarity)의 성질을 이용하는 것이다. 차원이 1,2,3인 도형을 살펴보겠습니다. 차원 1의 경우 길이가 1단위인 선을 원래 길이의 1/4로 줄입니다. 따라서 이제 길이는 1/4 단위입니다. 원래 길이를 얻으려면 선의 1/4을 4번 곱해야 합니다. 선의 크기를 줄인 인수를 's'로 하고, 원래 길이를 얻기 위해 's'를 곱한 숫자를 'n', 차원을 'D'로 합니다. 따라서 이 경우에 다음을 관찰할 수 있습니다.

이 수식은 모든 차원에 유효합니다. 2차원 도형의 면적을 사용하여 이를 증명하려고 한다고 가정합니다. 따라서 단위 길이를 갖는 정사각형의 각 변을 원래 길이의 1/2로 축소하여 면적을 축소해 보겠습니다. 1/4. 따라서 원래 정사각형으로 되돌리려면 축소된 정사각형을 4배 곱해야 합니다.

따라서 필요한 치수인 D = 2입니다.
마찬가지로 3차원 형태에 대해서도 증명할 수 있습니다.

따라서, 발견된 일반 방정식은,

방정식 (2)는 모양의 프랙탈 차원을 찾는 데 사용할 수 있는 공식 중 하나입니다. 이제 Koch 곡선을 취한다고 가정합니다.

위에서 주어진 n과 s의 값을 사용하여 방정식 (2)로 프랙탈 차원을 계산하려고 하면 대략 1.26을 얻습니다. 이것이 프랙탈, 코흐 곡선의 차원입니다.

둘째, 그리드 카운팅 방법을 사용합니다.
이 방법에서는 프랙탈 이미지에 그리드를 그려야 하며 각 상자의 크기는 1 단위입니다. 그런 다음 다시 그리드를 그립니다. 이번에는 각 상자의 크기가 1/2입니다. 다시, 각 상자의 축척은 1/4입니다. 프랙탈이 통과하는 상자의 수를 세십시오. 다음 공식을 사용하여 치수를 계산할 수 있습니다.

여기서 n( )은 이미지를 포함하는 사각형의 수이고 1/s는 그리드 스케일입니다. 이제 Koch 곡선의 치수를 계산할 수 있습니다. 다음은 비율이 1:1/2:1/4인 3개의 축척 그리드입니다. 세어보니 첫 번째, 두 번째, 세 번째 그리드의 박스 개수는 각각 18개, 41개, 105개로 나타났다.

눈금 1과 1/2의 눈금을 사용하여 치수 계산,

눈금 1과 1/4의 눈금을 사용하여 치수 계산,

눈금 1/2 및 1/4의 눈금을 사용하여 치수 계산,

이 세 값의 평균을 구하면 약 1.27로 나타났다. 이것은 Koch 곡선의 원래 치수인 1.26에 가깝습니다.

따라서 이들은 프랙탈 이미지의 프랙탈 차원을 계산할 수 있는 두 가지 간단한 방법입니다.