Ajude com uma prova de uma consequência dos axiomas de adição e multiplicação
Ao ler a Análise 1 de Vladimir A. Zorich, encontrei esta prova que tem este 1 passo que não consigo entender. Aqui está a consequência e a prova:
Para cada $x\in \mathbb R$ o seguinte é verdade
$$-x=(-1)\cdot x$$
Prova. $\ \ x+(-1)\cdot x=\underbrace{(1+(-1))\cdot x}_\text{Which of the axioms were used here ?}= 0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$. A suposição segue da exclusividade do negativo de um número.
Fim da prova.
A parte subestimada é o que não consigo entender. Que axiomas de adição e multiplicação foram usados para fazer essa expressão?
Respostas
Observe que $1\in\Bbb{R}$ é um elemento especial do conjunto com a propriedade que para cada $x\in \Bbb{R}$, $1\cdot x = x\cdot 1 = x$. Em seguida, também usamos a lei distributiva que para todos$a,b,c\in\Bbb{R}$, $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$. Portanto, \ begin {align} x + (-1) \ cdot x & = 1 \ cdot x + (-1) \ cdot x \ tag {propriedade de$1$} \\ & = [1 + (-1)] \ cdot x \ tag {lei distributiva} \ end {align} O resto da prova segue uma vez que você estabelece que para cada$x\in\Bbb{R}$, $0\cdot x = 0$.
o principal é a distribuição: $a(b+c) = ab + ac$.
Portanto, a prova é assim:
$x + (-1)x = 1\cdot x + (-1)\cdot x$ (por existência e definição de identidade multiplicativa)
$=(1+(-1))\cdot x$ (por distribuição)
$=0\cdot x$ (por definição de aditivo inverso)
$=x\cdot 0$ (comutividade de multiplicação, mas não tenho ideia de por que ele fez isso)
$= 0$(Este não é um axioma, mas uma proposição pode ser provada que$0\cdot x = 0$. Você já provou isso? Spivak usa isso como um axioma?)
Então, por definição, temos isso para cada $x$ existe um único $-(x)$ de modo a $x + (-x) = 0$.
Se algum dia tivermos um $a$ de modo a $x + a = 0$ deve ser isso $a=-x$como o inverso multiplicativo é único. Como$x + (-1)x =0$ deve ser $(-1)x = -x$.
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Suporte: $x\cdot 0 = 0$.
Pf: $x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$. (Cada elemento$a$, Incluindo $x\cdot 0$, tem um inverso aditivo, $-a$, de modo a $a + (-a) =0$.)
$x\cdot(0 + 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ ($0=0+0$ Porque $0$ é a identidade aditiva e $a +0 = a$ para todos $a$, incluindo quando $a$ é $0$.)
$(x\cdot 0 + x\cdot 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (distributividade)
$x\cdot 0 + (x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$ (associatividade)
$x\cdot 0 + 0 = 0$ (definição de identidade aditiva)
$x\cdot 0 = 0 $ ($a + 0= a$ para todos $a$ por definição de identidade aditiva.)