Álgebra Exterior e vetores linearmente independentes
Suponha que $v_1,\cdots,v_r$ são vetores linearmente independentes em algum espaço vetorial $V$. Eu quero tentar e mostrar isso para qualquer$w \in \bigwedge^p(V)$ este $$ w = \sum_{i=1}^{r} v_i \wedge \psi_i $$ para alguns $\psi_i \in \bigwedge^{p-1}(V)$ se e apenas se $$ v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0. $$
A direção para frente é trivial ao escrever $w$como a soma e estendendo o produto da cunha linearmente. É a segunda implicação que está me causando problemas.
Se assumirmos que $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0$, então quero concluir que posso escrever $w$ na forma apropriada, examinando formas alternadas e multilineares bem escolhidas de $V^{p+r}$ em algum espaço vetorial para que eu possa usar a propriedade universal de $\bigwedge^{p+r}(V)$, e avaliar o mapa induzido em $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w$ e pegue $0$.
O problema que estou tendo é que $w$ não é necessariamente um produto de cunha elementar, então não tenho uma maneira canônica de pensar nele como um elemento de $V^p$. Quaisquer idéias para essa direção para trás seriam muito apreciadas.
Respostas
Deixei $\{e_1,\ldots, e_k\}$ ser uma base de $V$ de tal modo que $v_i=e_i$ para $1\le i\le r$. $w\in \bigwedge^p(V) \implies$
$$w = \sum_{\alpha\in P}f_{\alpha}e_{\alpha_1}\wedge\ldots \wedge e_{\alpha_s}$$ Onde $P = \{(i_1,\ldots, i_s) \mid 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le k, s\leq p\}$ e vou usar $|\alpha|$para denotar o número de elementos na tupla. Claramente$$v_1\wedge \cdots \wedge v_r = e_{1}\wedge\cdots \wedge e_{r}$$Portanto, \ begin {align *} & v_1 \ wedge \ cdots \ wedge v_r \ wedge w = 0 \\ \ implica & e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {r} \ wedge \ sum _ {\ alpha \ in P} f_ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} = 0 \\ \ implica & \ forall \ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq 0 \ implica \ existe l_ \ alpha \ leq | \ alpha |, \ alpha_ {l_ \ alpha} \ leq r \ text {(Let$l_\alpha$denotar o menor valor)} \\ \ implica & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ cunha e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ espaço \ espaço (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ implica & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} (- 1) ^ m e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e_ { \ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ espaço \ espaço (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ implica & w = \ sum_ {i = 1} ^ rv_ {i} \ wedge \ soma _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0, l_ \ alpha = i} f _ {\ alpha} (- 1) ^ m \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \ end {align *} Pode ter cometido um erro em algum lugar, mas a ideia deve estar clara . Se você tiver uma notação que sugere que eu use para maior clareza, sinta-se à vontade para comentar!