Análogo categórico ao infinito do compacto Hausdorff
Recentemente, por meio dessa questão do transbordamento matemático, tomei conhecimento do artigo Codensity and the ultrafilter monad de Tom Leinster. Lá ele mostra que a mônada do ultrafiltro na categoria$\mathrm{Set}$ surge da adjunção $$ \mathrm{Set} \rightleftarrows \mathrm{Fun}(\mathrm{FinSet}, \mathrm{Set})^{\mathrm{op}},$$onde o adjunto esquerdo é dado pela incorporação de coYoneda (que tem um adjunto direito seguido por uma construção ou o teorema do functor adjunto). Além disso, sabe-se que a categoria de espaços compactos de Hausdorff é monádica sobre$\mathrm{Set}$ e que a mônada correspondente também é a mônada de ultrafiltro, exibindo a categoria de espaços compactos de Hausdorff como álgebras sobre essa mônada.
Movendo para $\infty$-categorias, é natural substituir $\mathrm{Set}$ pelo $\infty$-categoria $\mathcal{S}$de espaços (ou animae, como alguns o chamam). Este tem o sub-$\infty$-categoria $\mathcal{S}^{\mathrm{fin}}$de espaços finitos (isto é, a menor subcategoria finitamente cocompleta contendo o ponto). Usando a incorporação de coYoneda e o teorema do functor adjunto, obtemos novamente uma adjunção$$\mathcal{S}\rightleftarrows \mathrm{Fun}(\mathcal{S}^{\mathrm{fin}}, \mathcal{S})^{\mathrm{op}}.$$É possível descrever a mônada e as álgebras resultantes dela? É um conhecido$\infty$-categoria? Além disso, pode-se perguntar sobre sua relação com outros$\infty$-categorias, como espaços profinitos ou espaços condensados.
Edit: Como Denis e Dustin apontaram, é muito mais natural substituir $\mathrm{FinSet}$ pelo $\infty$-categoria de $\pi$- espaços finitos (em vez de $\mathcal{S}^{\mathrm{fin}}$), isto é, espaços cujos grupos de homotopia estão concentrados em muitos graus finitos e aí são finitos.
Respostas
Esta é uma boa pergunta! Acho que Barwick e Haine pensaram muito mais sobre isso e talvez já saibam a resposta. O que digo abaixo é definitivamente conhecido por eles. Também tome cuidado, pois escrevi o seguinte em um fluxo de consciência, sem saber muito bem para onde iria quando comecei.
Vou escrever "anima" para os chamados tipos / espaços / de homotopia$\infty$-groupoids / ..., e denotam seus $\infty$-categoria $\mathrm{An}$($=\mathcal S$) Também podemos considerar o$\infty$-categoria $\mathrm{CondAn}=\mathrm{Cond}(\mathrm{An})$de anima condensada (isto é, aliás, também a animação da categoria de conjuntos condensados). E se$X\in \mathrm{CondAn}$ é uma anima condensada, então $\pi_0 X$ é um conjunto condensado, e para qualquer ponto $x\in X$, pode-se definir grupos de homotopia $\pi_i(X,x)$ para $i\geq 1$, que são grupos condensados (abelianos para $i\geq 2$) Um pouco mais geralmente, se$S$ é qualquer conjunto profinite e $g: S\to X$ é qualquer mapa, pode-se definir um objeto de grupo $\pi_i(X,g)\to S$ em conjuntos condensados $S$, cuja fibra sobre qualquer $s\in S$ é $\pi_i(X,g(s))$. Então, um mapa de anima condensada é uma equivalência se e somente se ele induz uma equivalência em$\pi_0$ e tudo $\pi_i$ para $i\geq 1$ (em todos os pontos de base, incluindo famílias profinitas de pontos de base).
Então, assim como em uma aproximação muito grosseira, uma anima $X$ é algo como a coleção $\pi_0 X,\pi_1 X,\pi_2 X,\ldots$de um conjunto, um grupo e grupos abelianos, uma anima condensada é algo como uma coleção de um conjunto condensado, um grupo condensado e grupos abelianos condensados. Em particular, já$\pi_0 X$pode ser um espaço topológico interessante como uma variedade, portanto, um espaço. É por isso que não dizemos "espaço condensado", pois então pareceria que o esquecimento de conjuntos condensados deveria esquecer a estrutura do "espaço", mas antes esquece a estrutura da "homotopia abstrata".
Agora, o seguinte parece o óbvio "$\infty$- espaços compactos de Hausdorff categóricos ":
Definição. Uma anima condensada$X$ é "compacto Hausdorff" se $\pi_0 X$ e tudo $\pi_i X$ para $i\geq 1$ são compactos de Hausdorff.
Lembre-se aqui de que espaços compactos de Hausdorff incorporam-se totalmente fielmente em conjuntos condensados. A segunda afirmação significa mais precisamente que para todos os conjuntos profinitos$S$ com um mapa $g: S\to X$, o objeto do grupo $\pi_i(X,g)\to S$ em conjuntos condensados $S$é o compacto Hausdorff. (Isso é um pouco mais forte do que apenas pedir para todas as fibras.)
Então neste caso $\pi_0 X$ é um espaço compacto de Hausdorff, $\pi_1 X$ é um grupo compacto de Hausdorff, e $\pi_2 X,...$ são grupos abelianos compactos de Hausdorff.
Acontece que há uma boa caracterização da anima condensada de "Hausdorff compacta". Na verdade, existe uma noção topos-teórica geral de objetos "coerentes" = "qcqs". Isso geralmente é estudado para$1$-topoi, mas se generaliza facilmente para $n$-topoi. Basicamente, um objeto é quase compacto se alguma capa admitir uma subcobertura finita; é quase-separado se a diagonal é quase compacta; é 2-quase-separado se a diagonal é quase-separada; etc .; e coerente = quasicompact e$n$-quase separado para todos $n\geq 1$. Então, os conjuntos condensados coerentes são espaços de Hausdorff exatamente compactos e:
Proposição. A anima condensada coerente é exatamente a anima condensada "Hausdorff compacta".
Nota: em um $1$-topos, objetos coerentes muitas vezes concordam com os objetos finitamente apresentados, mas isso falha dramaticamente para $\infty$-topoi, onde coerência e apresentação finita são duas condições de finitude bastante diferentes. No caso da anima, coerência significa grupos finitos de homotopia, enquanto apresentação finita deveria significar gerada sob colimites finitos a partir do ponto; essas são noções muito diferentes. Conforme já discutido nos comentários, a condição de "grupos finitos de homotopia" parece mais relevante para a questão.
Agora temos uma boa noção de "$\infty$- espaços compactos de Hausdorff categóricos ". A questão, porém, partiu de um ângulo diferente, a saber, tentando descrevê-la por meio de uma mônada na anima.
Proposição. A anima condensada compacta de Hausdorff é monádica sobre a anima.
Isso pode ser deduzido de Barr-Beck-Lurie, embora dê algum trabalho.
Resta entender a mônada (e ver se ela pode ser descrita como uma mônada codensidade). A mônada leva uma anima$X$ para $\lim_{X\to Y} Y$ onde o diagrama está sobre todos os mapas de $X$ para uma anima condensada de Hausdorff compacta $Y$: Isso calcula o adjunto esquerdo desejado. Presuma, por enquanto, que a categoria do diagrama seja pequena; então esse limite ainda é uma anima condensada de Hausdorff compacta: A anima condensada de Hausdorff compacta são estáveis sob todos os pequenos limites, pois são estáveis sob limites finitos e todos os produtos pequenos. Agora, a categoria do diagrama não é realmente pequena, então é preciso argumentar um pouco mais cuidadosamente para ver a existência do adjunto esquerdo.
E se $X$é na verdade um conjunto, então pode-se mostrar que o adjunto esquerdo ainda é o mesmo, dado pela compactação de Stone-Čech. Este é o mesmo que$\lim_{X\to Y} Y$ onde restringimos $Y$para ser um conjunto finito. Em última análise, a possibilidade de restringir$Y$ a conjuntos finitos aqui - vindo do fato de que a compactação Stone-Čech está totalmente desconectada e os espaços compactos de Hausdorff totalmente desconectados são pró-finitos - é o que torna possível descrever os espaços compactos de Hausdorff em termos da mônada de codensidade para $\mathrm{FinSet}\hookrightarrow \mathrm{Set}$.
O primeiro caso novo interessante é $X=K(G,1)$, para algum grupo discreto $G$. Ignorando os grupos de homotopia superior, estamos interessados no grupo compacto universal$H$ com um mapa $G\to H$. Em geral, isso é conhecido como a "compactação de Bohr" de$G$. E se$G=\mathbb Z$, então procuramos o grupo compacto livre em um gerador. Isso é necessariamente abeliano, e então pode-se usar a dualidade de Pontrjagin para realmente determinar isso (espero não ter estragado isso): Pegue$\prod_{\mathbb R/\mathbb Z}\mathbb R/\mathbb Z$, o produto de $\mathbb R/\mathbb Z$ (como um conjunto discreto) muitas cópias do círculo $\mathbb R/\mathbb Z$, com seu elemento "diagonal" tautológico, e pegue o subgrupo fechado gerado por este elemento.
O que vemos no exemplo é que já para a anima $X=K(\mathbb Z,1)$ (também conhecido como círculo), a mônada assume um valor extremamente complicado (observe que estávamos ignorando grupos de homotopia mais elevados, mas o cálculo de $\pi_1$está correto), que em particular não está totalmente desconectado e, portanto, não pode ser escrito como um limite da anima finita. Portanto, concluo que estes "$\infty$- espaços compactos de Hausdorff categóricos "não podem ser descritos da maneira como a questão começou.
Isso, então, levanta a questão de quais são as álgebras para a mônada em questão!
Bem, eu não sei a resposta precisa, mas também se pode considerar anima condensada "Hausdorff compacta totalmente desconectada", perguntando agora que todos $\pi_i X$são totalmente desconectados e compactos de Hausdorff. então$\pi_0 X$ é um conjunto profinito, $\pi_1 X$ é um grupo profinito, e $\pi_2 X,\ldots$ são grupos abelianos profinitos.
Proposição. "Totalmente desconectado compacto de Hausdorff condensado$n$-anima truncada "são equivalentes à Pró-categoria de $n$-anima truncada com grupos de homotopia finitos.
Também se pode passar ao limite $n\to \infty$em certo sentido, mas deve-se ter cuidado, pois isso não comuta exatamente com a passagem para as Pró-categorias. Ainda é verdade que qualquer anima condensada de Hausdorff compacta totalmente desconectada$X$ mapeia isomorficamente para o $\lim_{X\to Y} Y$ Onde $Y$ corre sobre a anima com grupos de homotopia finitos.
Agora, a anima condensada compacta de Hausdorff totalmente desconectada não é mais monádica sobre o anima, mas o functor esquecido ainda detecta isomorfismos e tem um adjunto à esquerda, então dá origem a uma mônada na anima e a anima condensada compacta de Hausdorff totalmente desconectada incorporada totalmente fielmente às álgebras sobre esta mônada. E esta mônada, no último parágrafo, pode ser identificada com a codensidade mônada para a inclusão$\mathrm{An}^{\mathrm{coh}}\hookrightarrow \mathrm{An}$ de anima coerente (= anima com grupos de homotopia finitos) em toda anima.
Então, se eu não estou bagunçando isso, a categoria de álgebras sobre essa mônada é algum tipo de casco de anima condensada de Hausdorff compacta totalmente desconectada (incluindo todas as realizações geométricas que são divididas na anima subjacente); este casco está contido em anima condensada de Hausdorff compacta.
Em resumo, se tomarmos "anima finita" na questão como significando "grupos finitos de homotopia", isso dá origem a uma mônada cujas álgebras estão em algum lugar entre a anima condensada de Hausdorff compacta totalmente desconectada e toda anima condensada de Hausdorff compacta. Acho que definitivamente incluem todos aqueles para os quais$\pi_0 X$ é Hausdorff compacto arbitrário, mas $\pi_i X$ para $i\geq 1$ está totalmente desconectado.
Hmm ... OK, deixe-me fazer o seguinte:
Conjectura: Álgebras sobre a mônada codensidade para $\mathrm{An}^{\mathrm{coh}}\hookrightarrow \mathrm{An}$ são exatamente aquelas anima condensadas de Hausdorff compactas $X$ para o qual todos $\pi_i X$ para $i\geq 1$ estão totalmente desconectados.
Estou disposto a conjeturar isso pela seguinte razão: enquanto se pode obter todos os espaços de Hausdorff compactos como quocientes de conjuntos profinitos por relações de equivalência fechadas, nada assim acontece para grupos: um quociente de um grupo profinito por uma relação de equivalência fechada ainda é um grupo profinito.