Análogo do grupo ortogonal especial para formas quadráticas singulares

Dec 14 2020

O grupo ortogonal especial $SO(n)$ é o subgrupo do grupo linear especial $SL(n)$ de $n\times n$matrizes com determinante que preservam uma forma bilinear simétrica não degenerada. Se tal forma bilinear for considerada como sendo aquela associada à matriz de identidade, então$$SO(n):=\{M\in SL(n)\: | \: MM^{t} = I\}$$Existe uma boa descrição do grupo preservando uma forma bilinear simétrica singular? Por exemplo, se tomarmos$I_{k}=(a_{i,j})$ ser a matriz com $a_{i,i} = 1$ para $1\leq i\leq k$, $a_{i,i} = 0$ para $k+1\leq i\leq n$, e $a_{i,j} = 0$ para $i\neq j$, então como podemos descrever o grupo $$SO_{I_k}(n):=\{M\in SL(n)\: | \: MI_kM^{t} = I_k\}$$ de um determinante de matrizes preservando $I_k$?

Muito obrigado.

Respostas

7 YCor Dec 14 2020 at 00:37

Sim, é bastante imediato em geral, em um campo arbitrário (digamos com $0\neq 2$) Deixar$m$ seja a dimensão do kernel e fixe um subespaço de suplemento.

Então, sob esta decomposição, a forma quadrática $q$ escreve como $\begin{pmatrix}q_0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, com $q_0$não degenerado. Então o grupo ortogonal é$$\begin{pmatrix}\mathrm{O}(q_0) & 0\\ \mathrm{Mat}_{m,n-m} & \mathrm{GL}_m\end{pmatrix}.$$ Em particular, $\mathrm{SO}(q)$ consiste nessas matrizes de determinantes $1$, ou seja, os blocos diagonais têm ambos determinantes $1$ ou ambos $-1$ (o último sendo possível se ambos os blocos forem diferentes de zero, ou seja, $q\neq 0$ e $q$ é degenerado: neste caso, $\mathrm{SO}(q)$ tem 2 componentes como grupo algébrico, enquanto para $q=0$ ou $q$ não degenerado, tem um único componente).


Há uma descrição semelhante para formas alternadas, o grupo ortogonal $\mathrm{O}(q_0)$sendo substituído por um grupo simplético. O grupo simplético já sendo determinante$1$, o determinante 1 grupo de uma forma alternada é então conectado em todos os casos.


Outras consequências da descrição: Segue-se também que o radical unipotente ($\mathrm{Mat}_{n,m-n}$) de $\mathrm{SO}(q)$está contido em seu subgrupo derivado; está no subgrupo derivado do componente conectado$\mathrm{SO}(q)^\circ$ a não ser que $(n-m,m)=(1,1)$. Também se$\min(n-m,m)\ge 2$, nós vemos que $\mathrm{SO}(q)^\circ$ é perfeito.