Área total de círculos infinitos aninhados em um triângulo equilátero.

Question

Dado que o raio do círculo maior é 1, qual é a área total dos círculos infinitos na figura acima?

Eu sei como resolver parte do problema, seguindo os passos deste site .

Mas o problema são os círculos restantes. Tentei fazer alguma álgebra usando um caso especial (onde um dos círculos é uma reta) do teorema de Descarte , mas não encontrei nenhum padrão para escrever uma série e depois encontrar a soma.

Como posso encontrar a área dos círculos restantes, indicados em vermelho na figura abaixo?

Answer 1

Pela teoria dos círculos de Ford , os círculos que se tocam satisfazem$$\frac{1}{\sqrt{r_M}}=\frac{1}{\sqrt{r_L}}+\frac{1}{\sqrt{r_R}}$$

No caso do problema dado, cada círculo toca dois únicos círculos maiores. Se nos concentrarmos em apenas um ramo do conjunto (um terço dos círculos), o círculo central tem raio$1$e o próximo maior círculo tem raio$1/3$por semelhança. Seu círculo de contato tem raio$1/(1+\sqrt3)^2$pela fórmula acima.

Cada círculo pode ser representado por um par de inteiros$(m,n)$que é a soma dos índices de seus pais, e tem raio$r_{n,m}$dado por$\frac{1}{(m+n\sqrt{3})^2}$, usando a fórmula acima. O diagrama a seguir representa apenas uma família de círculos gerados pelo maior$(1,0)$e o próximo maior$(0,1)$. Cada vértice na árvore representa um espaço entre os círculos e cada aresta representa a tangente tocando dois círculos.

$\hspace{2cm}$

A próxima família à esquerda é gerada por$(0,1)$e$(3,0)$porque cada círculo, com centro na linha que vai do centro do triângulo ao vértice esquerdo, tem raio$1/3^n$(representado por$(3^{n/2},0)$ou$(0,3^{(n-1)/2})$).

Tabulando$1/\sqrt{r_{n,m}}$para a primeira família de círculos dá:

Família 1:$$\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt3\\ 1+2\sqrt3&2+\sqrt3\\ 1+3\sqrt3&2+3\sqrt3&3+2\sqrt3&3+\sqrt3\\ \cdots\end{matrix} $$

A seguir está um script do Mathematica para gerar esses pares:

level[n_] := level[n] = Riffle[level[n - 1], Most@level[n - 1] + Rest@level[n - 1]]
level[1]={{1,0},{0,1}}
sum[n_] := Plus @@ ((1/(#[[1]] + #[[2]] Sqrt[3.])^4) & /@ level[n])
area1 = Pi(sum[25] - 1)

(O círculo central é subtraído.)

Um valor numérico para a área da primeira família é$A_1\approx0.4550$.

As demais famílias são semelhantes à primeira família porque são versões em escala delas. Por exemplo, a segunda família é gerada por$(3,0)$e$(0,1)$, portanto, é um terço da família um em tamanho (e nono em área).

Assim, a área total de um ramo é$B=A_1(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9^2}+\cdots)=\frac{9}{8}A_1\approx0.5119$.

A resposta necessária para a área total é$3B+\pi$, adicionando o círculo central. Uma aproximação numérica desta área é$4.68$, que acabou$90\%$de todo o triângulo.