Calculando o Anel do Grupo $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ para um campo $k$ de característica $0$

Question

Considere um campo $k$ de característica $0$ e um número inteiro positivo $n.$Na prova do Teorema 4.19 de Polytopes, Rings, and K-Theory de Bruns e Gubeladze, é afirmado que temos um isomorfismo$k[\mathbb Z / n \mathbb Z] \cong k[x] / (x^n - 1),$ Onde $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ é o anel do grupo correspondente ao grupo cíclico do módulo de inteiros $n;$no entanto, estou tendo dificuldade em me convencer disso. Eu acredito que o$k$- homomorfismo álgebra $\varphi : k[x] \to k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ induzido pela atribuição $x^m \mapsto \overline m$ é sobrejetiva, onde denotamos $\overline m = m \text{ (mod } n),$ então eu gostaria de mostrar que $\ker \varphi = (x^n - 1),$ mas eu não fui capaz de fazer isso.

Uma vez que isso seja estabelecido, eu percebo que (como $k$ tem característica $0$) nós temos isso $x^n - 1 = \prod_{d \,|\, n} \Phi_d(x),$ Onde $\Phi_d(x)$ é o $d$o polinômio ciclotômico. Consequentemente, o polinômio$x^n - 1$divide-se em um produto de polinômios irredutíveis relativamente primos par a par; portanto, os autores afirmam que$k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$é o produto tensorial de domínios. Mas não vejo como$k[x] / (x^n - 1) \cong \otimes_{d \,|\, n} k[x] / (\Phi_d(x)),$ se é isso que os autores afirmam.

Eu apreciaria muito qualquer insight, comentários ou sugestões. Obrigado.

Answer 1

Sobre a primeira pergunta. O kernel contém$x^n-1$. O anel polinomial é PID, então o kernel é gerado por algum polinômio$f(x)$. Então o resto$r(x)$ do $f$ quando dividido por $x^n-1$deve pertencer ao kernel. que$r(x)$ tem diploma $<n$. Álgebra linear fácil mostra que$r$ é $0$. Portanto, o kernel é gerado por$x^n-1$.