Campo residual de composto de dois campos
[Questão]
eu sei que $K'\cdot K''$ é uma extensão não ramificada de $K$ mas não sei porque $K'\cdot K''$ tem um campo residual $k'$.
é sempre verdade que $K_1\cdot K_2$ tem um campo residual $k_1 \cdot k_2$? (Onde$k_1,k_2$ são campos residuais de $K_1, K_2$)
Eu acho que se provarmos a proposição 7,50, então podemos usar " $K_1\cdot K_2$ tem um campo residual $k_1 \cdot k_2$" nesta situação.
No entanto, não podemos usar esse fato ao provar esta proposição.
Como posso provar isso?
Obrigado pela sua atenção.
referência ( Teoria Algébrica dos Números de JS Milne ) e este post 1 : O estranho raciocínio de extensões não ramificadas com os mesmos campos residuais são iguais.
Respostas
Para $K/\Bbb{Q}_p$ uma extensão finita então $F/K$ é iff sem ramificação $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ com $p\nmid n$ e $q= |O_F/(\pi_F)|$. Esta é a principal aplicação do lema de Hensel.
Quando $E/K,E'/K$ são ramificados, então nem sempre é o caso que o campo residual de $EE'$ é o menor campo contido aqueles de $E,E'$, tente com $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$.
Quando $E'/K$ então não é ramificado $EE'=E(\zeta_{q-1})$ tem campo residual $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$.