Caracterização de C*-álgebras de dimensão finita?

Question

$\DeclareMathOperator\Spec{Spec}$Deixar$A$ser uma dimensão finita$*$-álgebra sobre$\mathbb C$.
(A saber, uma álgebra associada equipada com uma involução$*:A\to A$satisfatório$(ab)^*=b^*a^*$e$(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*$.)

Suponha que para$\forall a\in A$temos$\Spec(a^*a)\subset\mathbb R_+$.
Segue isso$A$que é uma álgebra C*?

Aqui, o espectro$\Spec(x)$de um elemento$x$é o conjunto de escalares$\lambda\in \mathbb C$de tal modo que$x-\lambda$não é invertível.

Answer 1

Deixar$V$ser um espaço vetorial complexo equipado com uma operação estrela anti-linear involutiva (por exemplo, uma álgebra C* cuja multiplicação foi esquecida). Equipar$V$com a multiplicação identicamente zero, ou seja,$xy=0$para todos$x$e$y$dentro$V$. Então a unitização de$V$é um contra-exemplo. Na verdade, cada elemento$a$do$V$é nilpotente então$\text{spec}(a) = \{0\}$. Conseqüentemente, o espectro de qualquer elemento da forma$a-\lambda$é$\lambda$de onde se verifica facilmente a condição exigida.

No entanto$a^*a=0$para cada$a$dentro$V$, assim$\tilde V$não pode ser uma álgebra C*.