Categorias monoidais cujo tensor tem um adjunto esquerdo
Existe um nome para categorias monoidais $(\mathscr V, \otimes, I)$ de tal modo que $\otimes$ tem um adjunto esquerdo $(\ell, r) : \mathscr V \to \mathscr V^2$? Eles foram estudados em algum lugar? Quais são alguns exemplos interessantes?
Algumas observações: quando $I : 1 \to \mathscr V$ tem um adjunto esquerdo, então $\mathscr V$é semicartesiano, ou seja, a unidade é terminal. Quando$\otimes$ tem um adjunto esquerdo, que é, além disso, a diagonal $\Delta : \mathscr V \to \mathscr V^2$, então $\mathscr V$ tem produtos binários.
Vou desembrulhar a definição aqui para tornar a estrutura mais explícita. Deixar$(\mathscr V, \otimes, I)$ ser uma categoria monoidal. $\otimes$ tem um adjunto esquerdo se tivermos o seguinte.
- endofunctors $\ell : \mathscr V \to \mathscr V$ e $r : \mathscr V \to \mathscr V$;
- para cada par de morfismos $f : \ell(X) \to Y$ e $g : r(X) \to Z$, um morfismo $\{f, g\} : X \to Y \otimes Z$;
- para cada morfismo $h : X \to Y \otimes Z$, morfismos $h_\ell : \ell(X) \to Y$ e $h_r : r(X) \to Z$,
tal que, para todos $x : X' \to X$, $y : Y \to Y'$ e $z : Z \to Z'$, temos $$y \otimes z \circ \{ f, g \} \circ x = \{ y \circ f \circ \ell(x), z \circ g \circ r(x) \}$$ $$\{ h_\ell, h_r \} = h$$ $$\{ f, g \}_\ell = f$$ $$\{ f, g \}_r = g$$
Respostas
Só para limpar o $\epsilon$de espaço restante após a resposta de Qiaochu - podemos nos livrar das hipóteses extras. eu irei escrever$I$ para a unidade monoidal e $1$ para o objeto terminal.
Assuma isso $(\ell,r) \dashv \otimes$. Então, os isomorfismos naturais$A \cong I \otimes A \cong A \otimes I$ dar origem, por adjunção, a mapas $\ell A \to I$ e $r A \to I$, natural em $A$. Também temos um mapa de unidade$A \to (\ell A) \otimes (r A)$, natural em $A$. Tensorando e compondo, obtemos um mapa$A \to (\ell A) \otimes (r A) \to I \otimes I \cong I$, natural em $A$. Ou seja, temos um cocone (com vértice$I$) no functor de identidade para $V$. Segue-se que na conclusão idempotente$\tilde V$ de $V$, há um objeto terminal (que deve ser uma retração de $I$)
Agora, a conclusão idempotente $\tilde V$ novamente tem uma estrutura monoidal $\tilde \otimes$ com um adjunto esquerdo $(\tilde \ell, \tilde r)$. Portanto, a primeira parte do argumento Eckmann-Hilton de Qiaochu pode ser executada em$\tilde V$: $I = I \otimes I = (I \times 1) \otimes (1 \times I) = (I \otimes 1) \times (1 \otimes I) = 1 \times 1 = 1$ (na terceira expressão, os produtos existem trivialmente, e na quarta o produto existe porque $\otimes$preserva produtos). Ou seja, devemos ter$I_{\tilde V} = 1_{\tilde V}$. Mas$I_{\tilde V}$ é a imagem de $I_V$ dentro $\tilde V$, e a inclusão na conclusão idempotente reflete objetos terminais. Portanto$V$ tem um objeto terminal, e $1_V = I_V$.
Então, como observado nos comentários acima, a segunda parte do argumento Eckmann-Hilton de Qiaochu pode ser executada em $V$: $A \otimes B = (A \times 1) \otimes (1 \times B) = (A \otimes 1) \times (1 \otimes B) = A \times B$ (na segunda expressão, os produtos existem trivialmente, e na terceira o produto existe porque $\otimes$preserva produtos). Ou seja, existem produtos binários em$V$ e concorda com $\otimes$. Na verdade, o functor de identidade é um functor oplax monoidal de$(V,\otimes)$ para $(V,\times)$, que o argumento mostra que é, na verdade, monoidal forte. Desse modo$(V,\otimes) \simeq (V,\times)$ como categorias monoidais.
Se $\otimes : V \times V \to V$ tem um adjunto esquerdo e $V$ tem produtos finitos então $\otimes$ os preserva no sentido de que o mapa natural
$$(X \times Y) \otimes (Z \times W) \to (X \otimes Z) \times (Y \otimes W)$$
é um isomorfismo. Por uma versão categórica monoidal do argumento de Eckmann-Hilton, parece-me que isso implica que$\otimes$é o produto. Explicitamente, se deixarmos$1_{\times}$ denotam o objeto terminal e $1_{\otimes}$ denotam a unidade monoidal, então temos isomorfismos
$$1_{\otimes} \cong 1_{\otimes} \otimes 1_{\otimes} \cong (1_{\otimes} \times 1_{\times}) \otimes (1_{\times} \times 1_{\otimes}) \cong (1_{\otimes} \otimes 1_{\times}) \times (1_{\times} \otimes 1_{\otimes}) \cong 1_{\times} \times 1_{\times} \cong 1_{\times}$$
tão $1_{\otimes} \cong 1_{\times}$(e esse isomorfismo é único se existir, então nem precisamos nos preocupar tanto com a naturalidade). Agora podemos descartar os subscritos ultrajantes e apenas nos referir a$1$. Isso dá um isomorfismo natural
$$X \otimes Y \cong (X \times 1) \otimes (1 \times Y) \cong (X \otimes 1) \times (1 \otimes Y) \cong X \times Y$$
para qualquer $X, Y$. Na verdade, não tenho certeza se este argumento mostra que o associador e unitor de$\otimes$ coincidir com o associador e unitor do produto, mas acho que uma versão mais elaborada desse argumento sim.
Eu não sei se é possível que $V$não tem produtos finitos. (Anteriormente, havia uma discussão aqui envolvendo a convolução do dia, mas Tim apontou lacunas nos comentários.)