Codimensão duas foliações com superfícies transversais

Question

Suponha que eu tenha alguns fechados$4$-múltiplo$X$e uma foliação de codimensão dois$\mathcal{F}$, bem como uma superfície fechada$\Sigma$de auto-interseção não negativa que está em toda parte transversal a$\mathcal{F}$.

Então, que tipo de restrições existem na foliação$\mathcal{F}$? Esta questão fornece algumas respostas no caso em que$X$é uma superfície complexa e$\mathcal{F}$é holomórfico, mas estou mais interessado no que acontece no caso real.

Answer 1

Neste caso real, há poucas restrições. De fato, escolha$\Sigma\subset X$de tal modo que$X$admite um campo suave de 2 planos$\xi$(não necessariamente integrável) transversal a$\Sigma$. Então, é fácil perturbar um pouco$\xi$para torná-lo integrável em uma pequena vizinhança de$\Sigma$. Então, por um teorema de Thurston (Commentarii 1974),$\xi$, sendo de dimensão real$2$, pode ser homotoped rel.$\Sigma$para se tornar integrável em todos os lugares. Você pode até começar estendendo$\xi$a uma folheação parcial de sua escolha sobre qualquer subconjunto regular de$X$. Então, as possibilidades são enormes.