Como encontrar a ordem do grupo de movimentos rígidos de sólidos platônicos em $\mathbb{R}^3$?
O seguinte aparece como exercícios em Álgebra de Dummit e Foote (Seção $1.2$ - Grupos diédricos):
- Deixei $G$ seja o grupo de movimentos rígidos em $\mathbb{R}^3$de um tetraedro. Mostra isso$|G| = 12$
- Deixei $G$ seja o grupo de movimentos rígidos em $\mathbb{R}^3$de um cubo. Mostra isso$|G| = 24$
- Deixei $G$ seja o grupo de movimentos rígidos em $\mathbb{R}^3$de um octaedro. Mostra isso$|G| = 24$
- Deixei $G$ seja o grupo de movimentos rígidos em $\mathbb{R}^3$de um dodecaedro. Mostra isso$|G| = 60$
- Deixei $G$ seja o grupo de movimentos rígidos em $\mathbb{R}^3$de um icosaedro. Mostra isso$|G| = 60$
A partir dessa resposta , concluí que os movimentos rígidos são isometrias que preservam a orientação, ou seja, os reflexos não são permitidos.
Então, para um tetraedro, pensei em eixos de simetria passando por um vértice e o centróide da face oposta. Existem quatro desses eixos (vamos chamá-los$A,B,C,D$) Ao longo de cada eixo, podemos definir$1_i, r_i, r_i^2$ como três rotações com $r_i^3= 1$, o elemento de identidade ($i=A,B,C,D$) Uma vez que existem quatro desses eixos,$|G| = 3\times 4 = 12$. Isso está bem ou estou faltando alguma coisa? Estou um pouco preocupado com o fato de que$1_A,1_B,1_C,1_D$ podem todos ser iguais (visto que são transformações de identidade) e que estou contando demais?
Pergunta secundária (desvio): as transformações de identidade correspondentes a eixos diferentes são diferentes ou iguais?
Para o cubo, fiz o seguinte:
- Para cada par de faces opostas, temos um eixo de simetria. tem$3$ tais pares, portanto $3$ tais eixos (digamos $A,B,C,D$) Sobre cada eixo que definimos$1,r_i,r_i^2,r_i^3$ com $r_i^4 = 1$ Onde $i=A,B,C,D$.
- Existem quatro diagonais do corpo (digamos $E,F,G,H$), e sobre cada diagonal (eixo de simetria) definimos $1,r_j,r_j^2$ com $r_j^3= 1$ Onde $j=E,F,G,H$.
Em vista dos cálculos acima, temos $|G| = 3\times 4 + 4\times 3 = 24$.
Usar este método torna-se difícil a partir de agora , para sólidos maiores. Não é fácil identificar todos os eixos de simetria à mão. Além disso, o único grupo que aprendi com alguns detalhes neste momento é$D_{2n}$, portanto , não forneça soluções como "o grupo necessário$G$ é isomórfico a um grupo conhecido e bem estudado $X$e nós sabemos $|X| = ?$ assim $|G| = ?$"
Acho que tudo se resume a ter uma boa maneira de contar todos os movimentos rígidos distintos. Alguém poderia me ajudar com isso?
Me deparei com as soluções de James Ha aqui , mas não entendo como as soluções apresentadas no PDF são equivalentes às minhas até mesmo para os casos de tetraedro e cubo. Seria bom se alguém pudesse me ajudar a ver a equivalência e também me dissesse como proceder com os outros sólidos platônicos! Muito obrigado!
Respostas
Para adicionar alguma elaboração às respostas existentes e comentários adicionais:
Como orangeskid menciona, você pode inferir o tamanho do grupo de simetria a partir do número de transformações entre duas arestas. Esta é uma maneira de ver isso mais claramente:
Considere arestas direcionadas no poliedro, que consistem em um vértice e uma aresta que emana desse vértice (ou equivalentemente, uma aresta com um de seus pontos finais distintos). Se tiver-mos$e$ bordas, então temos $2e$dessas bordas direcionadas. Como estamos usando sólidos platônicos, cada um deles pode ser levado a qualquer outro (isso segue muito facilmente da maioria das definições de sólidos platônicos, mas deve ser bastante intuitivo).
Mas uma vez que sabemos que uma borda direcionada $(v_1,e_1)$ vai para outra borda direcionada $(v_2,e_2)$, especificamos completamente a rotação: assim que movermos $v_1$ para $v_2$, restringimos as rotações possíveis a um único eixo em torno do qual as coisas podem girar (já que temos um ponto que agora está imóvel), e apenas uma dessas maneiras de girá-lo se moverá $e_1$ para $e_2$.
Em particular, isso significa que uma rotação é especificada exclusivamente por onde leva uma única aresta direcionada; já que cada um dos$2e$ possibilidades dá uma rotação única, deve haver $2e$ possíveis rotações totais.
(Se permitirmos transformações de reversão de orientação, há o dobro; para cada maneira de levar uma borda direcionada a outra, obtemos uma segunda transformação que fixa essa borda direcionada refletindo sobre ela.)
Quanto às transformações de identidade que fixam um eixo, são todas a mesma transformação de identidade; eles deixam a forma inalterada.
Para definir mais claramente os tipos de rotações (preservação da orientação) possíveis para cada possível sólido platônico:
Para cada sólido platônico, as rotações possíveis são uma rotação não trivial em torno de um vértice, um $180^\circ$ rotação sobre uma aresta, rotação não trivial sobre uma face ou transformação de identidade.
Para o tetraedro, as faces são vértices opostos, então há $4\cdot (3-1)$ rotações não triviais de vértice / face, $1$ identidade, e $3$ edge-flips ($6$ bordas, mas duas usadas por flip), para um total de $12$.
Para o cubo, existem $8\cdot (3-1)/2$ rotações do vértice, $6\cdot(4-1)/2$ rotações de rosto, $12/2$ borda vira, e $1$ identidade, para um total de $24$.
Para o octaedro, existem $6\cdot(4-1)/2$ rotações do vértice, $8\cdot (3-1)/2$ rotações de rosto, $12/2$ borda vira, e $1$ identidade, para um total de $24$.
Para o dodecaedro, existem $20\cdot(3-1)/2$ rotações do vértice, $12\cdot(5-1)/2$ rotações de rosto, $30/2$ borda vira, e $1$ identidade, para um total de $60$.
Para o icosaedro, existem $12\cdot(5-1)/2$ rotações do vértice, $20\cdot(3-1)/2$ rotações de rosto, $30/2$ borda vira, e $1$ identidade, para um total de $60$.
Não há substituto para cortar quatro triângulos equiláteros iguais de papelão e juntá-los para fazer um tetraedro. Depois de fazer isso, coloque a ponta do dedo no centro de uma borda e a outra ponta do dedo no centro da borda oposta. Em seguida, gire o tetraedro em torno do eixo que une as pontas dos dedos. Você deve descobrir que um$180^\circ$a rotação traz o tetraedro de volta a si mesmo. Na minha experiência, isso é difícil de visualizar até que você o faça fisicamente.
Existem três pares de arestas opostas e, portanto, três dessas $180^\circ$rotações. Estes, juntamente com a identidade e oito rotações de$\pm120^\circ$ sobre vários eixos que unem o centróide de uma face ao vértice oposto são responsáveis por todas as simetrias rotacionais do tetraedro.
Os outros sólidos platônicos têm similar $180^\circ$rotações. Mas se você quer apenas uma contagem, pode fazer algo mais simples. Comece com uma face do sólido voltada para você com orientação fixa (digamos, uma aresta horizontal). Se for um$m$rosto de lado, há $m$ arestas que podem ser horizontais, e essas $m$as orientações podem ser obtidas umas das outras girando em torno do centro da face. Agora, se o sólido tiver$f$ rostos, qualquer um dos $f$pode ser colocado na posição "de frente para você" por uma rotação. Então deve haver$mf$simetrias rotacionais. Isso explica tudo.
A resposta de orangeskid é semelhante, mas ainda mais simples, do que esta. Comece com uma aresta voltada para você, orientada horizontalmente. Suponha que o plano horizontal que contém essa aresta seja tal que divida o ângulo diedro entre as duas faces que se encontram ao longo dessa aresta. (Em outras palavras, da sua perspectiva, essas duas faces, que se inclinam para longe de você, parecerão iguais.) Agora você pode fazer o$180^\circ$rotação discutida acima, mas você também pode trazer qualquer outra aresta do sólido para a posição "voltada para você" por meio de uma rotação. Então há$2e$ simetrias.
Para poliedros em $3$ espaço você pode mostrar que uma vantagem $a$ pode ser levado para outra vantagem $b$ de $2$ transformação que preserva a orientação do sólido (pegue um, e então também pode girar $b$) Se você considerar todas as transformações, então há$4$ tais transformations.transformations.
Portanto, $|G_{+}(S)| = 2 e$, $|G(S)|= 4 e$, Onde $e$ é o número de arestas de $S$.