Como entender a órbita de tamanho $1$nesse caso

Question

Eu sou um iniciante autodidata em teoria de grupos, então, por favor, tenha paciência com esta pergunta, que pode ter algumas respostas simples. Dado um$p$-grupo$G$para algum primo$p$, deixar$H$ser um subgrupo de$G$. Deixar$X$seja o conjunto de todos os conjugados de$H$.

Agora,$H$atua em$X$por conjugação. Li que há pelo menos$p$órbitas de tamanho$1$dentro$X$.

Um exemplo de uma órbita com tamanho$1$é$\{H\} \in X$. Este exemplo segue desde$aHa^{-1}=H$para qualquer$a \in H$desde$H$é um subgrupo, e temos$\text{Orb}(H)=H$.

Mas eu li isso desde$p$é primo, que existem pelo menos$p-1$outras órbitas de tamanho$1$. Então deve haver outra órbita$gHg^{-1} \neq H$de tamanho$1$dentro$X$.

O que eu não entendo é como$gHg^{-1}$pode ser do tamanho$1$sob a ação de$H$. Isso não deveria significar que$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$e$\text{Orb}(gHg^{-1})$pode não ser necessariamente igual a$gHg^{-1}$. No entanto, deve ter tamanho$1$, o que significa que$\text{Orb}(gHg^{-1})$deve ser igual a$gHg^{-1}$.

Para referência, este resultado veio do Teorema 4.6 de Rotman, onde nenhuma condição extra foi imposta$H$e$G$exceto aquilo$H$é um subgrupo de$p$-grupo$G$... O que estou perdendo aqui?

Answer 1

A primeira coisa a notar é que se$|X| = 1$então não teremos$p-1$outras órbitas, então também precisaremos assumir$|X| \gt 1$.

Usaremos essas duas propriedades das órbitas para provar nossa afirmação:

1. As órbitas são disjuntas e sua união é todo o conjunto$X$(isso deve ser fácil de ver).

2. O tamanho da órbita divide a ordem do grupo (isso é comprovado no teorema do estabilizador de órbita)

Pela propriedade (1) temos que$$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$Onde$\mathcal{O}$é o conjunto que contém todas as órbitas da ação. Agora nós dividimos$\mathcal{O}$em dois subconjuntos disjuntos:$\mathcal{O'}$e$\mathcal{O''}$Onde$\mathcal{O'}$é o conjunto de todas as órbitas de tamanho$1$e$\mathcal{O''}$é o conjunto de todas as órbitas de tamanho maior que$1$. Isso significa$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$desde$|Y'| = 1$. Pela propriedade (2) sabemos que$|Y''|$divide$|X| = p^n$e$|Y''| > 1$o que significa que$|Y''| = p^k$Onde$k > 1$que significa$p$divide$|Y''|$. Podemos ver$X$como uma órbita onde a ação do grupo é a conjugação pelo grupo$G$. Isso significa que$|X|$divide$|G| = p^n$. Desde$|X| > 1$nós temos isso$p$divide$|X|$. Desde$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$,$p$também tem que dividir$|\mathcal{O'}|$que significa$|\mathcal{O'}| = pm$para alguns$m \gt 1$que significa$|\mathcal{O'}| \geq p$que é o que estávamos tentando provar.