Como mostrar isso $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ é um limite superior?

Question

Estou tentando provar que a sequência dada pela relação recursiva $a_{n+1} = \sqrt{12+4a_n}$ é convergente, $a_1 = 1$.

Consegui provar por indução que a sequência está aumentando estritamente .

Estou usando o teorema que afirma que

Se uma sequência é monótona e limitada, ela é convergente.

Portanto, devo agora provar que existe um limite superior

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Minha tentativa

Vou usar a indução novamente.

• Para $n = 1: a_1 = 5 < M\in\mathbb{R}$
• Para $n = k: a_k < M\in\mathbb{R}$
• Para $n = k+1: a_{k+1} = \sqrt{12+4a_k} = 2\sqrt{3+a_k} < M \iff a_k < \frac{M^2}{2} -3 < \frac{M^2}{2} < M^2 $

Eu mostrei isso $a_{k+1}$ é menos que $M^2$ enquanto na etapa de indução afirmei que $a_{k+1}$ é menos do que $M$. O quadrado meio que me confunde, e não tenho certeza se de fato provei limite aqui, então faço esta pergunta

Answer 1

Observe que $a_{k+1}=2 \sqrt{3+a_{k}}<M \iff a_{k}<\frac{M^2}{4}-3$. Então você poderia fazer$M=\frac{M^2}{4}-3$ que de fato dá $M=6$ como uma solução.

Answer 2

A maneira de abordar esse tipo de problema geralmente é a seguinte.

Imagine que você já provou que a sequência converge ... então $\lim_{n\to\infty}a_n=a\in\mathbb R$. Você não estaria interessado em descobrir o que é$a$? A maneira de fazer isso é: na equação$a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}$ você calcula os limites do lado esquerdo e direito quando $n\to\infty$. Você obtém:

$$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{12+4a_n}=\sqrt{12+\lim_{n\to\infty}a_n}=\sqrt{12+4a}$$

então $a=\sqrt{12+4a}$ que implica $a=6$.

Então o que você provou é que, se $a_n$ converge, tem que convergir para $6$e nenhum outro número. Além disso, você sabe que ele converge (como você não seria solicitado a provar se não o fizesse!), Então sabendo que ele está aumentando monotonicamente, você imediatamente vê que$a_n\lt 6$, Aproximando $6$ "de baixo", e na verdade $6=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}$.

Assim, talvez valha a pena agora tentar esquecer tudo o que dissemos até este ponto e provar que$a_n\lt 6$, o que significa imediatamente que sua sequência é monotonicamente crescente e limitada - portanto, convergente.

E, de fato (prova por indução), $a_1=5\lt 6$ e se $a_n\lt 6$, então $a_{n+1}=\sqrt{12+4a_n}\lt\sqrt{12+4\cdot 6}=6$.

Answer 3

Dica: prove por indução que $a_n \leq 6$ para todos $n$.