Como provar a soma de 2 distribuição Gaussiana também é uma distribuição Gaussiana usando a função característica [duplicar]

Question

Sejam X e Y dois $ \mathcal{N}(0, 1) $distribuições. Eu tenho que provar isso para$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $, $ aX + bY $ é igual a $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$.

Estou tentando fazer isso usando a função característica de uma distribuição gaussiana. $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$

Eu realmente não sei o que fazer, pois alterando a variável, não posso substituir x e y. Alguma sugestão?

Answer 1

Deixei $Z=aX+bY$. A função característica de$Z$ é:

$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$

EDITAR (erro desleixado ...) Se X e Y forem independentes:

$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$,

Onde $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$é a função característica da distribuição normal. Assim,

$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$,

que é a função característica da distribuição normal $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$.