Como provar esta afirmação na teoria dos conjuntos?

Question

eu preciso provar que$((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)) \iff (C \subset A)$

Ao provar, eu estava tentando usar distribuições e cruzar os dois lados do conjunto de equações da esquerda$\bar{B}$. Funciona para$\Rightarrow$, mas não tenho certeza para$\Leftarrow$

Seria bom obter pelo menos 1 dica se minha mente estiver errada. obrigado em conselho

Answer 1

1. Presumir$((A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C))$segura e deixa$x \in C$. Então$x \in (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C)$portanto$x\in A$.

2. Se$C \subset A$, então$A\cap C=C$assim$$ A \cap (B \cup C)= (A \cap B) \cup (A \cap C) = (A \cap B) \cup C = $$

Answer 2

„$\Rightarrow$”$((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)$ $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C$. Portanto$A\cup C=A$, e obtemos que C está em A. „$\Leftarrow$”. Se$C$é em$A$, então$((A\cap B)\cup C)=(A\cup C)\cap (B\cup C)=A\cap(B\cup C)$, e tudo feito.

Answer 3

$ \Leftarrow $é ainda mais fácil. Mostre que se$ x \in LHS $então$ x \in RHS $e vice versa. Usando o fato de que$ C \subset A $, não há muitos casos a serem considerados.