Como você “lê” essa função?

Aug 15 2020

Estou tentando entender uma prova em que você tem que criar uma função injetiva$g:ℕ^ℕ\rightarrowℝ$($ℕ^ℕ$é o conjunto de todas as funções de$ℕ$para$ℕ$), e meu livro define assim:

Eu entendo (obviamente) a parte que diz$0.101001000..$mas eu não entendo a fórmula para$a_n$. Onde diz "para alguns$k≥1$" isso significa que eu tenho que definir$k$ antes de aplicar essa fórmula ou tenho que calcular os valores mudando$k$hora extra?

Tentei obter o mesmo número que obtiveram para a função de identidade (o$0.10100..$), mas não consigo ver como eles conseguiram usando a fórmula:
Usando a função de identidade$i(n)=n$, com$k=2$a condição "se$n=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)$se tornaria$2+f(i(0))+f(i(1))$mas como sei quais valores$f(0)$,$f(1)$etc tem?

Vocês poderiam calcular o número que obtiveram usando a função de identidade usando essa fórmula?

Obrigada!

Respostas

1 AlexPeter Aug 15 2020 at 16:19

Eles provavelmente estragaram tudo e usaram$i$para duas coisas totalmente diferentes. por exemplo significa por exemplo assim$i()$é um exemplo simples para$f()$mas eles usaram$i$como índice e como um nome de função. Pessoas más. Substituir$i$quando é usado para nome de função, identidade, linha 4, 8 e 11 com, por exemplo$d$e leia novamente.

A expressão para$a_n$é complicado desnecessariamente, aumentando a confusão. Apenas diz que existem$f(0)+f(1)+...+f(m)$zeros mais$m$ $1$é antes de cada$1$na expansão. É uma inversão lógica que faz uma coisa muito simples parecer tão matemática, que é uma prática que você pode encontrar em lugares muito mais sérios. Desculpe pela tortura.

$f(0)$,$f(1)$são os valores de uma função escolhida. Portanto, este parágrafo explica como mapear uma função para um número real. Significa para qualquer função criar este mapeamento.

1 ChristianBlatter Aug 15 2020 at 16:17

A frase "Como eu sei quais valores$f(0)$,$f(1)$, etc., tem?" mostra que há algum mal-entendido em torno: O$f$é dado a você. É um "ponto" com infinitas coordenadas$\bigl(f(0)$,$f(1)$,$f(2)$,$\ldots\bigr) $. Agora você tem que codificar este ponto em uma string binária a partir da qual todas as coordenadas$f(i)$pode ser obtido de volta mais tarde. Parece que você entendeu a ideia da construção conforme demonstrado no exemplo.

O problema agora é encontrar uma descrição "matemática" da ideia de construção. A descrição dada mais ou menos transfere a ideia, mas supõe-se que o leitor já saiba o que está acontecendo. Eu faria da seguinte forma: Dado$f: \>{\mathbb N}_{\geq0}\to{\mathbb N}_{\geq0}$, definir números$n_k$ $(k\geq1)$do seguinte modo:$$n_k:=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)\qquad(k\geq1)$$e colocar$$a_{n_k}:=1\quad(k\geq1),\qquad a_n=0\quad({\rm otherwise})\ .$$