Compreensão $P_i$ componente primário.
De Abstract Algebra por Dummit e Foote, depois de provar

Diz o seguinte.

Na aula, definimos $N_i$ ser o $p_i$- componente primário de $M$. Mas estou tendo problemas para entender o que agrupa todos os fatores cíclicos correspondentes ao mesmo primo$p_i$.
Meu palpite é que na decomposição, temos primos $p_1, \ldots p_t$. E, dentre eles, escolhemos$p_1, \ldots p_n$. E nós dizemos$N_i = R/(p_i^{\alpha_s}) \oplus \ldots \oplus R/(p_i^{\alpha_k})$? E não há mais simplificação possível?
Obrigado.
Respostas
Você está certo. Você deixa$N_i$ ser a soma direta dos componentes correspondentes ao valor principal $p_i$ (onde o $p_i$agora são primos distintos ). Não há mais simplificação possível.
Uma coisa a ter em atenção: $N_i$ são determinados exclusivamente pelo grupo $M$, mas os componentes dentro de um $N_i$não são determinados exclusivamente. Por exemplo, existem muitas maneiras de decompor$\mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$ como uma soma direta dessa forma.