Conceitos de opções iniciais

Dec 14 2020

Considerar $t_0<t<T$, com $t_0=0$ (data de hoje) e o pagamento padrão de uma opção de compra inicial de encaminhamento simples,

$F_{t,T} = (S_T - S_t\cdot K)^+$, com greve $K$.

Se o preço desta opção for cotado hoje em $t_0$, então podemos inferir algum tipo de volatilidade implícita de Black-Scholes $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ para o qual o preço BS correspondente concorda com o preço de mercado (em $t_0$)

Agora, denote a volatilidade implícita de BS no momento $t$ de uma opção de compra com o pagamento acima por $\hat{\sigma}(t,T,K,S_t)$. Obviamente, do ponto de vista de$t_0$ isso é desconhecido, pois as cotações do mercado para a data $t$ ainda não existem.

Minha pergunta é como $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ relacionar-se com o desconhecido $\hat{\sigma}_{imp}(t,T,K,S_t(\omega)$? O primeiro é apenas um proxy do segundo?

Sei que a resposta pode ser óbvia, mas estou tentando me convencer e entender melhor os conceitos da bibliografia. Quaisquer referências / artigos fáceis de ler que esclareçam todos os itens acima são apreciados.

Respostas

2 StackG Dec 14 2020 at 17:01

Opções Forward-Start são títulos muito interessantes, você pode encontrar muito sobre eles na internet. Acontece que existe uma fórmula de precificação explícita para eles em Black-Scholes, a melhor derivação que posso encontrar é dada neste artigo - a fórmula de precificação é dada por:

Quanto à volatilidade implícita a termo, verifica-se que existem algumas maneiras de defini-la. Em simples BS, a volatilidade é determinística em todos os momentos, portanto, o vol implícito futuro será exatamente o mesmo que o vol implícito agora. No entanto, as coisas ficam mais interessantes nos modelos de Vol locais (que podem ser pensados ​​como uma generalização de BS), caso em que os modelos de vol determinísticos e os modelos de vol estocásticos fornecem superfícies de vol direto MUITO diferentes - escrevi um pouco sobre isso (com gráficos e código) em outra resposta .

Caso seja de interesse, verifica-se que mesmo no modelo vol estocástico de Heston podemos encontrar uma fórmula semi-analítica para essas opções, por exemplo, aquela dada aqui ...

Se você quiser experimentar por si mesmo, tanto o caso Local Vol quanto o caso Heston têm mecanismos de precificação analíticos (e também monte-carlo) disponíveis via QuantLib.