Conceitos de opções iniciais
Considerar $t_0<t<T$, com $t_0=0$ (data de hoje) e o pagamento padrão de uma opção de compra inicial de encaminhamento simples,
$F_{t,T} = (S_T - S_t\cdot K)^+$, com greve $K$.
Se o preço desta opção for cotado hoje em $t_0$, então podemos inferir algum tipo de volatilidade implícita de Black-Scholes $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ para o qual o preço BS correspondente concorda com o preço de mercado (em $t_0$)
Agora, denote a volatilidade implícita de BS no momento $t$ de uma opção de compra com o pagamento acima por $\hat{\sigma}(t,T,K,S_t)$. Obviamente, do ponto de vista de$t_0$ isso é desconhecido, pois as cotações do mercado para a data $t$ ainda não existem.
Minha pergunta é como $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ relacionar-se com o desconhecido $\hat{\sigma}_{imp}(t,T,K,S_t(\omega)$? O primeiro é apenas um proxy do segundo?
Sei que a resposta pode ser óbvia, mas estou tentando me convencer e entender melhor os conceitos da bibliografia. Quaisquer referências / artigos fáceis de ler que esclareçam todos os itens acima são apreciados.
Respostas
Opções Forward-Start são títulos muito interessantes, você pode encontrar muito sobre eles na internet. Acontece que existe uma fórmula de precificação explícita para eles em Black-Scholes, a melhor derivação que posso encontrar é dada neste artigo - a fórmula de precificação é dada por:

Quanto à volatilidade implícita a termo, verifica-se que existem algumas maneiras de defini-la. Em simples BS, a volatilidade é determinística em todos os momentos, portanto, o vol implícito futuro será exatamente o mesmo que o vol implícito agora. No entanto, as coisas ficam mais interessantes nos modelos de Vol locais (que podem ser pensados como uma generalização de BS), caso em que os modelos de vol determinísticos e os modelos de vol estocásticos fornecem superfícies de vol direto MUITO diferentes - escrevi um pouco sobre isso (com gráficos e código) em outra resposta .
Caso seja de interesse, verifica-se que mesmo no modelo vol estocástico de Heston podemos encontrar uma fórmula semi-analítica para essas opções, por exemplo, aquela dada aqui ...


Se você quiser experimentar por si mesmo, tanto o caso Local Vol quanto o caso Heston têm mecanismos de precificação analíticos (e também monte-carlo) disponíveis via QuantLib.