Condições necessárias (e suficientes) para que o seguinte produto de matriz seja simétrico positivo definido?

Aug 16 2020

Consertar alguns $n\times n$ matriz simétrica positiva definida $A$. Considere o seguinte produto de matriz,

$$B = AC$$

Onde $C$ é um arbitrário $n\times n$matriz. Dado$A$, Gostaria de saber se existem conhecidas condições necessárias e suficientes em todas as matrizes quadradas $C$ de modo que a matriz resultante $B$também é simétrico positivo definido? Estou mais interessado em saber (se possível) as condições necessárias.

Editar:

Estou preocupado apenas com matrizes reais.

Respostas

2 ChrisRamsey Aug 16 2020 at 08:22

E se $C$ é uma matriz real definida positiva que comuta com $A$ então $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$que é definido positivo. Portanto, esta é certamente uma condição suficiente.

No entanto, está longe de ser necessário. Considere isso$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$

Não estou convencido de que haverá uma boa condição que descreva completamente tal $C$.

Uma condição necessária é que $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ Se em adição $C$ é simétrico, então comuta com $A$ e depois $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ o que implica que $C$ é definido positivamente desde $A^{-1}$ é positivo também.

Quase uma resposta completa, mas é tudo o que tenho por agora.