Confuso sobre o produto tensor dos módulos R

Question

No livro de Tu sobre Geometria Diferencial, ele primeiro define $Free(V\times W)$ Como:

$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ onde a soma é finita.

A forma como entendo é a construção acima é de combinações formais e esquece a própria estrutura dos módulos. Em outras palavras, se$v_1+v_2 = v_3$, não é verdade que em $Free(V\times W)$ este $(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$

Agora, para formar o produto tensorial, temos o quociente pelo submódulo, $S$ abrangido por elementos do formulário: $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ Então temos um mapa do produto para o produto tensorial, $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$

No entanto, se $v_3 = v_1 + v_2$, então eu não posso mostrar isso $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ qual deveria ser o caso se $\otimes$é um mapa bilinear de homomorfismo de módulo .

Answer 1

Desde a $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$ e $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ é definido por $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ a condição $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ nos diz que $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ que é o mesmo que $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$. Observe também que as outras relações que definem$S$ nos dá \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}

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Lembre-se de que se $M$ é um $R$-módulo e $S$ é um submódulo de $M$, o quociente $M/S$ é definido por $M/\!\sim$, Onde $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ Neste caso, a classe de equivalência de $m \in M$ É dado por $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (conseqüentemente $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$), e definimos um $R$- estrutura do módulo em $M/S$ de $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$

Answer 2

Portanto, para a posteridade, quero escrever uma resposta para outras pessoas que podem ter a mesma confusão. Como @KCd esclareceu, elementos de$Free(V\times W)$ são da forma,

$$\sum r_i(v_i, w_i)$$

No entanto, se escrevermos um elemento particular de $Free(V\times W)$ Como $r_1(v_1 + v_2, w_1)$ e $v_3 = v_1 + v_2$ então $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ Em outras palavras, dentro de nossos parênteses em nossa notação não estamos pegando somas formais, mas combinando elementos do módulo como normalmente faríamos.