Construindo um isomorfismo entre dois campos finitos de ordem 25.

Question

Os campos em questão são \ begin {equation *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1), \ \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {equation *} Eu sei que existe um isomorfismo entre os campos acima, pois são campos finitos da mesma ordem. Minha ideia era encontrar um gerador do grupo de unidades de cada campo e construir um isomorfismo mapeando um gerador para o outro.

eu achei aquilo $x+2$ gera $(\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1))^{\times}$ e $1+\sqrt{2}$ gera $\mathbb{F}_5(\sqrt{2})^{\times}.$ Então, chamando o mapa $\varphi$, Eu envio $x+2$ para $1+\sqrt{2}$ que dá, após reorganizar, $\varphi(x)=\sqrt{2}+4$ onde também usei que qualquer isomorfismo deve fixar o campo base $\mathbb{F}_5$. O problema é que o mapa\begin{align*} \varphi:&\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1)\longrightarrow \mathbb{F}_5(\sqrt{2})\\ &a+bx \mapsto a+4b+b\sqrt{2} \end{align*} não satisfaz $\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$ para todos $f,g \in \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1).$ Isso se deve à abordagem geral incorreta?

Answer 1

Nós notamos que $\omega$, uma terceira raiz primitiva da unidade, tem como polinômio mínimo $f(x)=x^2+x+1 \in \mathbb{F}_5[x]$. Como$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},$ isso dá o seguinte isomorfismo $\varphi:$ \begin{align*} \varphi: \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1) &\longrightarrow \mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})\\ g(x)&\longmapsto g(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}). \end{align*} Contudo, $-3=2 \in \mathbb{F}_5$ e $\mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})=\mathbb{F}_5(\sqrt{-3})$então \ begin {equation *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1) \ cong \ mathbb {F} _5 (\ frac {-1+ \ sqrt {-3}} {2 }) = \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {equação *}