Convergência uniforme de sequência de funções zero em quase todos os lugares

Aug 15 2020

Deixei $B([a , b])$ ser o espaço de funções limitadas e mensuráveis ​​de um intervalo limitado fechado $[a , b]$ para dentro $\mathbb R$dotado da norma sup. Eu sei que este é um espaço de Banach.

Agora considere o seguinte subespaço vetorial de $B([a , b])$:

$$L_{0} = \{ f : [a , b] → R │ f = 0 \text{ almost everywhere} \}$$

Como mostrar isso $L_{0}$ é um subespaço fechado de $B([a , b])$.

Minha tentativa é a seguinte:

Deixei $f \in B([a , b])$ ser um ponto limite de $L_{0}$. Então, há uma sequência$( f_{n} )$ dentro $L_{0}$ de tal modo que $f_{n} → f$ uniformemente e portanto $f_{n} (x) = f (x)$ para todos $x \in [a , b]$. Agora desde$f_{n} = 0$ ae para todos $n\in\mathbb N$ e uma vez que a interseção contável de subconjuntos de medidas completas é um subconjunto de medidas completas, portanto $f = 0$ae Qualquer correção se eu estiver errado é muito apreciada. Obrigado por qualquer ajuda.

Respostas

Surb Aug 15 2020 at 21:38

Deixei $(f_n)\in L_0^{\mathbb N}$ uma sequência de $L_0$ que converge para uma função $f$. Em particular,$f_n(x)\to f(x)$ ae e assim $f=0$ ae Portanto, $L_0$ é sequencialmente fechado e, portanto, fechado.