Dado positivo $x,y$ de tal modo que $x > y$ e $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $, encontre o mínimo $(x+y)$

Question

Eu recebo números positivos $x, y$ de tal modo que $x > y$ e $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $. Eu preciso encontrar o valor mínimo de$(x+y)$. Aqui está minha tentativa. Usando a desigualdade AM-GM para números não negativos, eu tenho

$$ \frac{(x+y)}{2} \geqslant \sqrt{x} \sqrt{y} $$

$$ \sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) \geqslant 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \\ \therefore (x-y) \geqslant 2 $$

Então, eu pude chegar a essa conclusão. Mas estou preso aqui. Qualquer ajuda ?

obrigado

Answer 1

Por AM-GM $$(x+y)^2=xy(x-y)^2=\frac{1}{4}\cdot4xy(x-y)^2\leq\frac{1}{4}\left(\frac{4xy+(x-y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{16},$$ que dá $$x+y\geq4.$$ A igualdade ocorre para $(x-y)\sqrt{xy}=x+y$ e $4xy=(x-y)^2,$ que dá $$(x,y)=(2+\sqrt2,2-\sqrt2),$$ o que significa que obtivemos um valor mínimo.

Answer 2

colocar $x=r^2{cos}^2a$ e $y=r^2{sin}^2a$ também deixe $a$ pertence a $[0,\frac{\pi}{2}]$

portanto, temos que encontrar o valor máximo de $r^2$

conectando os valores na equação dada e simplificando usando fórmulas trigonométricas básicas que temos $r^4(cosa)(sina)(cos2a)=r^2$ ou

$ r^2=\frac{4}{sin(4a)} \ge 4$

Answer 3

Dica: coloque $x=\alpha \cosh^2(x)$ e $y=\alpha\sinh^2(x)$ a condição se torna:

$$\alpha=\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}$$

A expressão é:

$$x+y=\Big(\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}\Big)\frac{1+\tanh^2(x)}{1-\tanh^2(x)}$$

Resolvendo, encontramos $x+y\geq 4$.

Answer 4

Dica

Fazer

$$ \cases{ u = x+y\\ v = x-y } $$

temos

$$ \sqrt{u^2-v^2}=2\frac uv $$

então

$$ u^2 = \frac{v^4}{v^2-4} $$

etc.

Answer 5

Dado $\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y$

deixei $yx=c$ , Onde $c>0$.

$$\sqrt{c}\left(x^{2}-c\right)=x^{2}+c$$ $$x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[1]$$

Deixe uma função $$F(x,c)=x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c$$ser definida. Então$$\frac{\partial F(x,c)}{\partial c}=0$$ em uma constante $x$ nos dá $c \approx 2.618 \implies x \approx 3.33 $ (usando $[1]$) Então,$$x+\frac{c}{x}\geqslant 4$$ $$min(x+y)=4$$

quando $x=2+\sqrt{2} \text{ and } y=2-\sqrt2$ como apontado.