Deixei $\alpha$ ser uma raiz de $(x^2-a)$ e $\beta$ ser uma raiz de $(x^2-b)$. Fornecer condições durante $a$ e $b$ Ter $F=K(\alpha+\beta)$.

Question

PERGUNTA: Deixe$K$ ser um campo de característica diferente de 2. Let $F$ ser um campo de divisão para $(x^2-a)(x^2-b)\in K[x]$. Deixei$\alpha$ ser uma raiz de $(x^2-a)$ e $\beta$ ser uma raiz de $(x^2-b)$. Fornecer condições durante$a$ e $b$ Ter $F=K(\alpha+\beta)$.

MINHA TENTATIVA:

Deixei $\alpha=\sqrt{a}$, $\beta=\sqrt{b}$ e $\gamma=\alpha+\beta$. Em primeiro lugar, temos$F=K(\alpha, \beta)$devido à definição de campo de divisão. Definindo$K(\alpha+\beta)=K(\gamma)$.

Vamos mostrar isso $K(\alpha, \beta)\subset K(\gamma)$:

• A partir de $\gamma=\alpha+\beta$ segue isso \begin{align*} \gamma^2&=(\alpha+\beta)^2\\ &=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\\ &=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b} +(\sqrt{b})^2\\ &=(a+b)+2\sqrt{a}\sqrt{b}\qquad (*)\\ \end{align*}
• Agora vamos mostrar que $\sqrt{b}\in K(\gamma)$

Na verdade, multiplicando ambos os lados em $(*)$ de $\sqrt{b}$ temos:

$\gamma^2\sqrt{b}=(a+b)\sqrt{b}+2\sqrt{a}(\sqrt{b})^2$. Então$$\sqrt{b}=\frac{2b\sqrt{a}+(a+b)\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$

• Simillarly, $\sqrt{a}\in K(\gamma)$, isto é

$\gamma^2\sqrt{a}=(a+b)\sqrt{a}+2(\sqrt{a})^2\sqrt{b}$, então

$$\sqrt{a}=\frac{(a+b)\sqrt{a}+2a\sqrt{b}}{\gamma^2}\in K(\gamma)$$

MINHA DÚVIDA: Acho que não há condições para$a$ e $b$ de tal modo que $\alpha=\sqrt{a}$ e $\beta=\sqrt{b}$, no entanto, não tenho certeza. E eu não sei como conectar isso com a hipótese de que$K$tem característica diferente de dois. Você poderia me ajudar, por favor?

Answer 1

Depois de saber disso $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$, com base $\{1,\alpha,\beta,\alpha\beta\}$, você pode proceder da seguinte forma: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \\ \gamma^2 \\ \gamma^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ a+b & 0 & 0 & 2 \\ 0 & a+3b & 3a+b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \beta \\ \alpha\beta \end{pmatrix} $$ A matriz tem determinante $4(b-a)$ e então é invertível se $a\ne b$ desde a característica de $K$ não é $2$. Portanto,$\{1,\gamma,\gamma^2,\gamma^3\}$ também é uma base e assim gera o mesmo espaço, ou seja, $K( \alpha,\beta ) = K(\gamma)=K( \alpha + \beta )$.

Resumindo: a principal condição é que $[ K( \alpha,\beta ) : K ]=4$, ou equivalente, $\beta \not\in K( \alpha)$.

Esta abordagem não funciona na característica $2$ Porque $[K(\gamma):K]\le 2$ Desde a $\gamma^2 = a+b \in K$.

Answer 2

Nós assumimos que $x^2-a,x^2-b$ são irredutíveis ao longo $K$ e $b\ne a$, caso contrário, o problema é trivial.

• E se $\sqrt{b}\not \in K(\sqrt{a})$então mostre isso$\sqrt{a}+\sqrt{b}$tem 4 conjugados distintos (é onde usamos$char(K)\ne 2$) o que implica que $[K(\sqrt{a}+\sqrt{b}):K] = 4$.

• E se $\sqrt{b}=u+v\sqrt{a} \in K(\sqrt{a})$ então $v\ne 0$ assim $(u+v\sqrt{a})^2\in K$ implica $u=0$. Desde a$b\ne a$ então $v\ne \pm 1$ e, portanto $K(\sqrt{a}+\sqrt{b})= K((v+1)\sqrt{a})=K(\sqrt{a})$.