Deixei $P(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2+a_3x^3+…+a_nx^n$ e $P(1)=4$ e $P(5)=136$

Question

Deixei $P(x)$ ser um polinômio tal que, $$P(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2+a_3x^3+.......+a_nx^n,~~(a_i,n\in{Z^{\geq 0}})$$

$$ P(1)=4, P(5)=136$$

Temos que encontrar $P(3)$

Este problema é mais difícil do que parece (pelo menos para mim)

O que eu tentei fazer foi $$P(1)=a_0+a_1+a_2+a_3+.......+a_n=4$$ e $$P(5)=a_0+5a_1+25a_2 +125a_3+.......+a_n5^n$$

Deixei $P(1)=S$, e nós pegamos $a_0$ ao lado de $S$ e multiplicar $(S-a_0)$ de $5$e alguns cancelamentos. Simplesmente não leva a lugar nenhum

Posso obter algumas dicas de como proceder?

Answer 1

A observação crucial vem do fato de que os coeficientes precisam estar em $\mathbb{Z}^{\geq 0}$.

$P(5) = 136$ só pode ser escrito das seguintes maneiras usando potências de 5:

• $1 + (27)(5)$
• $1 + (22-5i)(5) + (i+1)(5^2)$ para $i = 0,1,2,3,4$
• $1 + (2)(5) + (1)(5^3)$

O único que satisfaz $P(1) = 4$ é o último que é $P(x) = 1 + 2x + x^3$.

Portanto, $P(3) = 34$

Answer 2

Claramente $n\le 3$ Como $a_n5^n>136$ para $n\ge 4$ e $a_n\ge 1$. Desde a$P(5)=136$ esta força $a_3\le 1$. E se$a_3=1$, claramente $a_2=0$ quais forças $a_1=2$ e $a_0=1$. E se$n=2$, Como $a_0+a_1+a_2=4$, é fácil verificar se todos os $a_i$ são menores ou iguais a $4$, $P(5)=136$ não é alcançável.

Answer 3

Ok .... dicas.

O que sobrou de $136$ dividido por $5,25, 125$ e $625$.

O que isso diz sobre $P(5) = \sum_{k=0}^n 5^k a_k$ e os valores de $a_k$.

E $P(1) = \sum_{k=0}^n 1^k\cdot a_k$. O que isso diz sobre quantos valores diferentes de zero de$a_k$ existem e quais podem ser seus valores máximos.

Espero com essas dicas que você não apenas possa dizer o que $P(3)$ é, você pode expressar $P(x)$ com certeza absoluta.

Answer 4

Dica: dado isso $P(1)=4$, Estou tentado a escrever $P(x) = x^{n_1}+x^{n_2}+x^{n_3}+x^{n_4}$ Onde $n_1,n_2,n_3,n_4$não são necessariamente distintos. Então, usando o fato$P(5)=136$ deve ser mais fácil.