Deixei $\{x_n\}$ seja uma sequência em $(0, 1)$ de tal modo que $x_n \to 0$. Mostre que a sequência $\{f(x_n)\}$ converge.
Estou tentando resolver o seguinte problema:
Suponha que $f: (0, 1) \to \mathbb R$é uniformemente contínuo. Deixei$\{x_n\}$ seja uma sequência em $(0, 1)$ de tal modo que $x_n \to 0$. Mostre que a sequência$\{f(x_n)\}$ converge.
Eu acho que se em tudo $f(x_n)$ converge, deve convergir para $f(0)$ mas não tenho certeza se isso segue de qual teorema (?).
Em segundo lugar, se estivéssemos lidando com o intervalo $[0, 1]$ ao invés de $(0, 1)$Acho que tenho uma ideia de como abordar. Desde a$f(x)$ seria uniformemente contínuo em $[0, 1]$ para cada $\epsilon > 0$ nós teríamos um $\delta_\epsilon$ tal que se $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ então $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Desde a,$x_n \to 0$ Acho que sempre podemos escolher algum $N \in \mathbb N$ tal que para $n > N$, $|x_n - 0| < \delta_\epsilon$. Então teríamos isso para todos$n > N$, $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$ por alguma escolha de $\epsilon > 0$.
Mas aqui estamos lidando com o intervalo aberto $(0, 1)$ ao invés de $[0, 1]$ e, como tal, não temos a garantia de que para cada $\epsilon > 0$ nós teríamos um $\delta_\epsilon$ tal que se $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ então $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Isso ocorre porque a definição de continuidade uniforme diz apenas:
Deixei $(X, d_X)$ e $(Y, d_Y)$ ser dois espaços métricos e deixar $f: X \to Y$. Nós dizemos isso$f$ é uniformemente contínuo iff para todos $\epsilon > 0$ existe um $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ tal que para todos $x, y \in X$, $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$.
Mas note que no caso de $f: (0, 1) \to \mathbb R$ o ponto $0$ não se encontra em $(0, 1)$! Portanto, não temos garantia de que para todos$\epsilon> 0$, $d_X(x, 0) < \delta_{\epsilon} \implies d_Y(f(x), f(0)) < \epsilon$, Onde $X = (0, 1)$ e $Y = \mathbb R$ neste contexto.
Alguma ideia de como consertar essa prova? Além disso, por que deveria$f(x_n)$ necessariamente convergem para $f(0)$ E se $x_n \to 0$? É alguma propriedade especial de funções uniformemente contínuas?
Respostas
Mostrar, usando uniformemente a continuidade de $f$, este $(f(x_n))_n$ é uma sequência de Cauchy. $f(0)$ é indefinido em sua configuração (o domínio de $f$ é $(0,1)$) então você não pode concluir que $f(x_n) \to f(0)$. No entanto, desde$\Bbb R$está completa, a sequência admite um limite. Observe que as funções uniformemente contínuas são contínuas, portanto, se uma função$g$ definido em $[0,1]$ é uniformemente contínuo então, sendo em particular contínuo, é verdade que $g(x_n)\to g(0)$.
Uma abordagem é usar o fato de que se $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ é uniformemente contínuo em $(a,b)$, então $f$ admite uma extensão única uniformemente contínua para $[a,b]$. Para este caso, você é capaz de definir exclusivamente um valor de$f(0)$ de tal modo que $f:[0,1)\to\mathbb{R}$é uniformemente contínuo. Então você pode concluir que$f(x_n)\to f(0)$ por continuidade.
Para f (x) é contínuo, $\forall \epsilon, \exists \delta$ tanto que quando $|x_n-0|<\delta, |f(x_n)-f(0)|<\epsilon$.
Para $x_n\to 0$, $\exists N,$ tanto que quando $n>N, |x_n-0|<\delta$.
Portanto $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon, f(x_n)$ converge.
Correção: como @FormulaWriter disse, $f(0)$ não está claramente definido, então é melhor substituir $f(0)$ acima como $f(0+)=\lim_{x\to0+}f(x)$.