Desigualdade de probabilidade para soma de variáveis ​​aleatórias independentes não negativas

Question

Suponha $X_i$, $i \in \mathbb{N}$ são variáveis ​​aleatórias binárias independentes com $P(X_i = 1) = p_i = 1-P(X_i = 0)$ e definir $S_n \equiv \sum_{i=1}^n X_i$. Eu quero provar isso para cada$x > 0$, temos $$P(S_n \ge x) \leq \left(\frac{\mu e}{x}\right)^x $$

Eu posso fazer isso por $x \in (0,1]$ observando que a função $f(y) \equiv y^x, y \ge 0$ é côncavo para $x$ neste intervalo, portanto, temos $$P(S_n \ge x) \leq P(eS_n \ge x) \leq P(e^x S_n^x \ge x^x) \leq \frac{e^x E(S_n^x)}{x^x}\leq \frac{e^x E(S_n)^x}{x^x} = \left(\frac{\mu e}{x} \right)^x $$

onde aplicamos a desigualdade de Jensen para obter a última desigualdade. Estou perdida em tentar fazer isso direito para$x > 1$. Não podemos aplicar o de Jensen novamente porque a função$f(y)$ agora é convexo em $x \in (1, \infty)$portanto, precisamos de uma estratégia totalmente diferente. Não tenho certeza se essa é a ideia certa, mas podemos escrever uma expressão para a probabilidade exatamente como sendo$$P(S_n \ge x) = \sum_{J \subseteq \{1, ... n\}, |J| \ge x} \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \not \in J} (1-p_i) $$Não consigo ver nada frutífero nisso. Qualquer ajuda seria muito apreciada!

Answer 1

Suponha $x > \mu$, porque se $x \le \mu$, então o lado direito é maior do que $1$.

Eu sigo a prova da desigualdade de Bernstein: https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_inequalities_(probability_theory)

Para qualquer $ \theta > 0$, temos $$ P(S \ge x) = P(\exp(\theta(S-x)) \ge 1) \le E(\exp(\theta(S-x))) = e^{-\theta x} \prod_k E(\exp(\theta X_k)) .$$ Agora $$ E(\exp(\theta X_k)) = 1-p_k + p_k e^{\theta} \le \exp((e^{\theta} - 1) p_k ) .$$ então $$ P(S \ge x) \le \exp(-\theta x + (e^\theta -1) \mu ) \le \exp(-\theta x + e^\theta \mu ) .$$ Conjunto $\theta = \log (x/\mu)$.