Determine a convergência de uma série.
Aqui está a série:$$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}{(n + (n + n^2)^2)^2}$$O método que uso para determinar essa série é o teste de comparação, que consiste em construir a seguinte sequência:$$ a_n = \frac{\sqrt{3n}}{n^8}$$Que forma uma série convergente onde cada termo é maior que os termos da série acima de modo que determino que a série acima é convergente. No entanto, não sei se estou certo ou não. Portanto, se eu estiver errado, diga-me como fazê-lo corretamente ou, se estiver correto, confirme comigo ou forneça um método alternativo para determinar a convergência da série acima para discussão. Obrigado.
Respostas
Honestamente, a menos que haja uma instrução explícita para usar algum teste, prefiro pensar nesses tipos de séries em termos do teste de comparação de limite (LCT) , em vez do teste de comparação (CT).
A declaração usual do LCT é mais ou menos assim: Suponha que$\{ a_n \}$e$\{ b_n\}$são sequências com$a_n \ge 0$,$b_n > 0$para todos$n$. Se$\lim_{n\to +\infty} a_n/b_n$existe e é diferente de zero, então$\sum a_n$e$\sum b_n$convergem juntos, ou divergem juntos.
O LCT se preocupa menos com a direção da desigualdade (ao contrário do CT onde você tem que verificar certas desigualdades que podem ser irritantes), e mais com os assintóticos, o que o torna muito mais poderoso. Quanto a procurar o apropriado$b_n$usar como ponto de comparação? A ideia usual é olhar para os termos mais dominantes (isto é, os termos que crescem mais rapidamente até o infinito) no numerador e no denominador.
No seu exemplo, o termo dominante no numerador é$\sqrt{n}$, enquanto o termo dominante no denominador é$n^8$. Isso sugere que usamos$b_n = \sqrt{n}/n^8 = n^{-15/2}$, que realmente funciona muito bem aqui. Nós temos$\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = 1$, e nós sabemos$\sum b_n$converge pelo$p$-teste. Assim, o mesmo acontece com a série original.
Este método possui teste de comparação direta de nome próprio e afirma o seguinte:
Se série$\sum b_n$converge e$0 \leqslant a_n \leqslant b_n$para suficientemente grande$ N \in \mathbb{N}, n> N$, então$\sum a_n$também converge.
retenções$\sum a_n \leqslant \sum b_n$se a comparação for$\forall n \in \mathbb{N}$.
Se$\sum a_n$diverge, então$\sum b_n$é divergente.
No livro: Murray H. Protter, Charles B. Jr. Morrey - Intermediate Calculus-Springer (2012) - página 105, Teorema 9.
Sua solução é boa, mas você se sente um pouco inseguro, deixe-me mostrar por que o teste funciona: uma série$\sum_{k= 1}^\infty a_k$, por definição, representam o limite da sequência de suas somas parciais$\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$, por$s_n:=\sum_{k=1}^na_k$.
quando cada$a_k$é positivo então a sequência$\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$é uma sequência de números reais positivos que é estritamente crescente e, portanto , pode-se mostrar que ela converge se e somente se for limitada .
Se$a_k:=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}/(k+(k+k^2)^2)^2$então é fácil ver que$0\leqslant a_k\leqslant k^{-2}$para cada$k\in \mathbb N $, e entao
$$ 0\leqslant s_n\leqslant \sum_{k=1}^n k^{-2}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ and }\quad \sum_{k=1}^n k^{-2}\leqslant \sum_{k=1}^\infty k^{-2}=\frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ therefore }\quad 0\leqslant s_n\leqslant \frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N $$
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