Determine se$f(x)=x^2$é uniformemente contínua no domínio dado.

Question

Determine se a seguinte função é uniformemente contínua no domínio dado.

$f(x)=x^2 , \quad \text{in}\quad [0,\infty], [0,1]$

minha tentativa:

Para o domínio$[0,\infty]$. Deixar$(x_n)=n, (y_n)= n +\frac{1}{2n}$

Então$|n-n-\frac{1}{2n}|=\frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

Mas,$|(n)^2-(n+\frac{1}{2})^2| = 1 + \frac{1}{(2n)^2} \geq 1 = \epsilon _0$

Então$f(x)=x²$não é uniformemente contínua no domínio$[0,\infty]$

Para o domínio$[0,1]$. Deixar$(x_n)=\frac{1+n}{n}, (y_n)= \frac{1+2n}{2n}$

Então$|\frac{1+n}{n}-\frac{1+2n}{2n}| = \frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

Mas,$|(\frac{1+n}{n})^2-(\frac{1+2n}{2n})^2|=\frac{1}{n} + \frac{3}{4n^2} \geq 1 = \epsilon _0$

Então$f(x)=x²$não é uniformemente contínua no domínio$[0,1]$

Não tenho certeza se meu método está correto. Qualquer sugestão seria ótima!

Answer 1

Outra maneira de ver que a função é uniformemente contínua em$[0,1]$sem usar o teorema de Heine é provar que a definição de continuidade uniforme é satisfeita.

De fato, deixe$\varepsilon > 0$. Deixar$\eta = \varepsilon/2$. Para todos$x,y \in [0,1]$de tal modo que$|x-y|<\eta$, Você tem$$|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| \leq 2\eta = \varepsilon$$

Portanto, a definição é satisfeita.

Answer 2

Seu método para o domínio$[0,\infty)$está correto, e seu resultado também está correto. Mas para o domínio$[0,1]$, não funciona, já que você escolheu$x_n,y_n$não estão no domínio. Em vez disso, você poderia usar o fato de que funções contínuas em domínios compactos são uniformemente contínuas.

Answer 3

Certamente é uniformemente contínuo em$[0,1]$. Em geral, uma função contínua sempre será uniformemente contínua em um conjunto compacto (como o @Bungo apontou nos comentários).

Para responder à pergunta nos comentários:

Por exemplo, para qualquer$\varepsilon$, se apenas tomarmos$\delta=\frac{100}{4 \times 99} \varepsilon$, temos$$f\left(x+ \frac{99}{100} \delta\right) - f(x) \\ = f(x + \varepsilon/4) - f(x) \\ = x^2 + x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 - x^2 \\ = x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/16 \\ < \varepsilon$$

PS A resposta de @TheSilverDoe é muito mais clara, então eu verificaria essa :)