É $(4+\sqrt{5})$ um ideal principal de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?

Question

Considere o domínio integral $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. É$(4+\sqrt{5})$ um ideal principal de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$?

Eu conheço os seguintes fatos elementares. Temos \ begin {equation} \ mathbb {Z} \ left [\ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ right] = \ left \ {\ frac {m + n \ sqrt {5}} { 2}: m, n \ in \ mathbb {Z} \ text {são ambos pares ou ímpares} \ right \}. \ end {equation}

Para cada $\frac{m + n \sqrt{5}}{2} \in \mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$, defina sua norma como de costume: \ begin {equation} N \ left (\ frac {m + n \ sqrt {5}} {2} \ right) = \ frac {m ^ 2-5n ^ 2} {4}. \ end {equation} desde$m, n$são pares ou ímpares, é fácil ver que a norma é um número inteiro. Deste fato, é facilmente visto que$\frac{m + n \sqrt{5}}{2}$ é uma unidade de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ se e apenas se $m^2 - 5n^2=4$ ou $m^2 - 5n^2=-4$. Agora desde$N(4+\sqrt{5})=11$ nós facilmente entendemos isso $4+\sqrt{5}$ é um elemento irredutível de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. E se$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ foram um domínio de fatoração único, podemos concluir que $(4+\sqrt{5})$ um ideal principal de $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$. Mas não sei se$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$é um domínio de fatoração único. Alguém sabe se é?

Muito obrigado desde já pela sua atenção.

Answer 1

Ligar $A = \mathbb Z \left[ \frac{1 + \sqrt 5}2\right]$. Podemos mostrar isso$A / (4+\sqrt 5) \cong \mathbb Z/11 \mathbb Z$, para que o ideal $(4 + \sqrt 5)$ é máximo.

1. Como $N(4 + \sqrt 5) = 11$, é claro que os elementos $0, 1, \ldots, 10$ são pares de módulos incongruentes $4 + \sqrt 5$.

2. Cada elemento de $A$ é congruente com um módulo inteiro $4 + \sqrt 5$: na verdade, se for da forma $a + b \sqrt 5$ com $a, b \in \mathbb Z$ podemos subtrair um múltiplo inteiro adequado de $4 + \sqrt5$ pousar em $\mathbb Z$. Se for do formulário$(a+b\sqrt5)/2$ com $a, b$ estranho, podemos subtrair $$\frac{1 + \sqrt5}2 \cdot (4 + \sqrt5) = \frac{9 + 5\sqrt5}2$$ pousar em $\mathbb Z + \mathbb Z\sqrt5$.

Considere o homomorfismo de anel $$\mathbb Z / (11) \to A / (4+\sqrt5) \,.$$Pela primeira observação, é injetivo. No segundo, é sobrejetora.

Answer 2

O campo numérico $K=\Bbb Q(\sqrt{5})$ tem classe número um porque seu limite de Minkowski satisfaz $B_K<2$. Daí seu anel de inteiros$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ é até um PID e, portanto, um UFD.

Por outro lado, basta ver que $\mathcal{O}_K/(4+\sqrt{5})$ é um campo, para que o ideal $(4+\sqrt{5})$ é principal.

Answer 3

Sim, $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$é um UFD porque é euclidiano-norma .