É possível diferenciar $\sin x$ em relação a $\cos x$ dos primeiros princípios?

Question

Eu estava fazendo um problema prático hoje para um teste de admissão na universidade, onde me pediu para diferenciar $\sin x$ em relação a $\cos x$. A solução que encontrei usou a regra da cadeia:

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

Porém, quanto mais eu pensava sobre esse problema, mais eu me sentia um pouco desconfortável. Eu realmente não entendo o que significa diferenciar uma função em relação a outra função, se isso for possível. Então tentei diferenciar$\sin x$ em relação a $\cos x$ desde os primeiros princípios, só para saber com o que estava trabalhando:

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

A ideia por trás disso era tratar $\cos x$assim como faria com qualquer outra variável. No entanto, isso me deu a resposta incorreta de$(\cos \circ \cos)(x)$, e não consigo entender por quê. Existe uma maneira intuitiva de pensar sobre o que significa diferenciar uma função em relação a outra função?

Answer 1

Você deseja medir uma mudança em $\sin{x}$ com respeito a uma mudança em $\cos{x}$. Então você quer$\sin{x}$ como a função de $\cos{x}$, que não é a mesma coisa que $\sin(\cos{x})$. É aí que está o seu problema fundamental.

O que você quer: se $x \in [0, \pi]$, então $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$, e entao \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} como desejado.

Exercício: o que acontece quando $x \in [\pi, 2\pi]$?

Answer 2

Conjunto $y=\cos x$, então para $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ Quanto ao limite, você deve escrever $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$