E se $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ são contínuos e convergem para $f$ pontualmente, deve $f$ser Riemann Integrable? [duplicado]

Question

Estou tentando resolver a seguinte questão

Verdadeiro ou falso? E se$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ é uma sequência de funções contínuas que converge para $f$ pontualmente, então $f$ é Riemann integrável e $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$

Com a ajuda dos comentários, encontrei este contra - exemplo, mas espero que seja mais simples.

Se substituirmos as integrais de Riemann pelas integrais de Lebesgue, o resultado é verdadeiro pelo Teorema da Convergência Dominada. Isso implica que se$f$ é Riemann Integrable, então de fato $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ Portanto, ao procurar um contra-exemplo, devemos tentar encontrar um onde $f$ não é Riemann integrável.

Muito obrigado por qualquer ajuda.

Answer 1

O contra-exemplo clássico é o seguinte: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$. Deixei$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (que existe porque é o limite de uma sequência decrescente positiva), então existe $n_0$ de tal modo que $f_{n_0}$ não é Riemann integrável, o que constitui um contra-exemplo porque $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ é Riemann-integrável para todos $m$, seja o $f_n$ são todos integráveis ​​por Riemann, mas desde $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ não é Riemann-integrável e $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$, então este é um contra-exemplo.