E se $p$ é um primo ímpar e $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, então $\alpha^2$ não é um módulo de raiz primitiva $p$.
Prove verdadeiro ou forneça um contra-exemplo se for falso.
E se $p$ é um primo ímpar e $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, então $\alpha^2$ não é um módulo de raiz primitiva $p$.
Eu estava tentando provar que era verdade, mas não sei por onde começar. Eu estava pensando em usar o Pequeno Teorema de Fermat: se$p$ é um primo e $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, então $\alpha^{(p-1)}=1$ mas como fazer o salto do FLT para as raízes primitivas? Uma raiz primitiva é definida como um elemento$\gamma=\phi(m)$ mas como isso se relaciona com este problema?
Respostas
$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$.A última etapa segue de FLT.
Portanto, a ordem de $a^2$ mod $p$ é no máximo $\frac{p-1}{2}$, então não pode ser uma raiz primitiva por definição.