em relação a um limite: explicação explícita necessária

Question

Nós temos, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$

E está tudo bem, mas não tenho certeza de $p\in \mathbb{R}$, minha pergunta é, é verdade para $p\in \mathbb{R}$?

Tentei calcular o valor deste limite na Calculadora Online Symbolab, colocando $p =some$ $fraction$ $number$, mas mostra $0$como resposta. A captura de tela deste caso está anexada aqui.

E

Alguém pode me fornecer a abordagem ou mesmo uma dica para provar ou refutar a figura acima mencionada?

Desde já, obrigado!

Answer 1

É verdade para qualquer $p> -1$. Na verdade, é uma soma de Riemann:$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ para a função $f(x)=x^p$, com limites $0$ e $1$, portanto, converge para $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$

Answer 2

DICA

Vamos usar Stoltz-Cesaro para obter

$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$