Encontre todas as funções $f$ de tal modo que $f(mn) = f(m)f(n)$ e…

Aug 16 2020

Encontre todas as funções $f : N → N$ de tal modo que

(uma) $f(2) = 2$

(b) $f(mn) = f(m)f(n)$ para todos $m, n ∈ N$

(c) $f(m) < f(n)$ para $m < n$

Primeiro, eu substituí $m=1,n=2$ para obter $f(1)=1$. Em seguida, podemos facilmente notar que todos os poderes de$2$serão iguais a si mesmos. Isso é$f(4)=4,f(8)=8$, e assim por diante. Agora, a próxima etapa que não tenho certeza está correta. Como$f(4)>f(3)>f(2)$e $f : N → N$, Eu acho que $f(3)$ Só pode ser $3$mas, novamente, não tenho tanta certeza. Se for assim, então acredito que a única função possível é$f(x)=x$.

Agora, para a próxima parte do problema -

O que acontece se a terceira condição não nos for dada?

Infelizmente, nem mesmo tenho a resposta para o problema, muito menos uma solução. Qualquer dica também seria útil, obrigado.

Respostas

2 TheSilverDoe Aug 16 2020 at 17:56

Mais facilmente :

E se $f(1)=1$ e $f(2^n)=2^n$, e porque você tem $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$

a única possibilidade é que $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=4$ e assim por diante.