endomorfismo linear entre$V$e dual de$V$

Question

Deixar$V$ser um espaço vetorial de dimensão finita sobre um campo$K$.$V^*=\{l:V\to K\}$.

Provar$\operatorname{End}(V)$linear isomorfo a$\operatorname{End}(V^*)$.

Minha tentativa: Desde para espaço vetorial de dimensão finita$\dim V^*=\dim V$

então eles são linearmente isomórficos por$\psi:V\to V^*$.

elemento tão dado$T\in \operatorname{End}(V)$podemos encontrar$\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$é fácil verificar que é um endomorfismo linear.

E o mapa está pronto, pois para qualquer$\hat{T}$podemos construir$T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$. é injetivo desde$\hat{T} = 0$implica$T = 0$é o mapa zero, então tem kernel trivial.

Finalmente precisamos mostrar$\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$também é linear. ou seja$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$por definição de$\hat{T}$ele detém.

Minha prova está correta?

Answer 1

Sua prova está correta. No entanto, existe outro isomorfismo de espaço vetorial entre$\operatorname{End}(V)$e$\operatorname{End}(V^*)$que não requer um isomorfismo$V \rightarrow V^*$. Ou seja, mapa$A \in \operatorname{End}(V)$para$A^* \in \operatorname{End}(V^*)$por definir$(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$. Aqui,$ x\in V$e$\phi \in V^*$.

Answer 2

Você quer mapear$T\colon V\to V$para um mapa linear$V^*\to V^*$e há uma maneira óbvia de fazer isso, ou seja, mapear$T$à sua transposição$T^*$. No entanto, isso define um antiisomorfismo , porque$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$.

Você obtém um isomorfismo usando isso, quando$\dim V=n$, você consegue$V\cong M_n(K)$(o anel de$n\times n$matrizes) através da escolha de uma base. A transitividade do isomorfismo termina.