Entendendo uma prova relacionada à continuidade

Aug 17 2020

Suponha que$f:X\to \mathbb{R}$é uma função contínua com$f(y)>0$para alguns$y\in X$. Eu li em uma prova que diz

Desde$f$é contínua, há uma vizinhança aberta$U$do$y$e um$\delta>0$de tal modo que$f(x)\geq \delta$por$x\in X$.

Eu não entendo porque eles existem, você poderia explicar o que estava acontecendo? A maneira que eu quase entendo é:

  1. Desde$f$é contínua, existe conjunto aberto$U$contendo$y$de tal modo que$f(x)>0$para todos$x\in U$. Não consigo ver como isso é alcançado pela definição de continuidade...

  2. Desde$f>0$sobre$U$por 1), escolhemos$\delta>0$tão pequeno que$f(x)\geq \delta$para todos$x\in U$. Isso é permitido? Em caso afirmativo, por quê?

Respostas

1 DoctorWho Aug 17 2020 at 11:55

Leva$\delta = \frac{f(y)}{2}$. Então$(\delta, \infty)$é um conjunto aberto. Pela definição de continuidade (para um espaço topológico geral),$U = f^{-1}((\delta, \infty))$está aberto. E claramente por definição,$y \in U$desde$f(y) > f(y) / 2 = \delta$. E para todos$x \in U$, temos$f(x) > \delta$e assim$f(x) \geq \delta$.