Espectro primário de um anel: por que a geometria é capturada por anéis locais?
Se uma função $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ é contínuo, $f$é localmente invertível em todos os pontos de não fuga. Ou seja, para todos os pontos$x_0$ de tal modo que $f(x_0) \neq 0$, existe uma vizinhança aberta $U$ do $x_0$ e uma função $g: U \rightarrow \mathbb R$, de modo que para todos $u \in U$, $(f \times g)(u) = f(u) \times g(u) = 1$.
O inverso é verdade? Uma função que é localmente invertível em todos os pontos não-evasivos é contínua?
Parece que não. Considere a função$ f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 2 & \text{otherwise} \end{cases} $
Isso tem uma função inversa $ g(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 1/2 & \text{otherwise} \end{cases} $
Apesar de $f$é descontínuo em todos os lugares. Então, claramente, essa definição invertível localmente está muito longe de nos dar funções contínuas.
Agora estou desmotivado quanto ao espectro de um anel. É essa propriedade de "inversão local" que (pensei) motiva a definição do feixe de estrutura no espectro de um anel. Dentro$\operatorname{Spec}(A)$, o anel de funções em torno de um ponto (primo) $\mathfrak p$ é $A_\mathfrak p$. Portanto, todas as funções (elementos de anel) que não são zero em$\mathfrak p$ será forçado a se tornar invertível por meio de localização.
Mas essa definição não parece forte o suficiente para realmente capturar o que queremos - ela permite muitos anéis patológicos de funções, dos quais não podemos recuperar a estrutura do espaço original. A prova que conheço, que recupera o espaço original dado o anel de funções, precisa de funções contínuas para aplicar o lema de Urhyson [isso pode ser encontrado em Atiyah Macdonald, Capítulo 1, Exercício 26)
o que estou perdendo?
Respostas
É um fato que uma função (real ou complexa avaliada) contínua, ou continuamente diferenciável, ou suave, ou analítica, etc. que não desaparece em lugar nenhum tem um inverso multiplicativo na mesma categoria. Além disso, por continuidade, uma função só pode desaparecer em um conjunto fechado. Portanto, o feixe de tais funções em um espaço topológico tem a propriedade de seus talos serem anéis locais. Para variedades algébricas irredutíveis definidas da maneira clássica, temos funções racionais, o feixe de funções regulares tem a mesma propriedade. Para variedades algébricas não necessariamente irredutíveis, não podemos realmente falar sobre funções racionais, mas uma análise mais detalhada do feixe de funções regulares em variedades algébricas afins irredutíveis revela que não é necessário passar por funções racionais em primeiro lugar, e é assim que chegamos à definição do feixe de estrutura de um esquema afim geral. O fato de os talos serem anéis locais é, em certo sentido, acidental.
Deixei $k$ seja um campo algébricamente fechado e deixe $X$ ser um subconjunto de $k^n$. Para efeitos desta resposta, uma função regular em$X$ é uma função $f : X \to k$ para os quais existem polinômios $p$ e $q$ sobre $k$ de tal modo que $q (x) \ne 0$ para todos $x \in X$ e $f (x) = p (x) / q (x)$ para todos $x \in X$. Deixei$\mathscr{O} (X)$ ser o conjunto de funções regulares em $X$. Então:
E se $X$ é um subconjunto fechado irredutível de $k^n$, então a tarefa $U \mapsto \mathscr{O} (U)$, Onde $U$ varia ao longo dos subconjuntos abertos de $X$, define um subsheaf $\mathscr{O}_X$ do feixe de $k$-funções avaliadas em $X$.
Na verdade, há uma afirmação a ser verificada aqui, a saber, que a regularidade das funções é uma propriedade local, mas deixo isso para você. A definição acima exigida$X$ estar embutido em $k^n$, mas isso é realmente desnecessário. Primeiramente:
E se $X$ é um subconjunto fechado de $k^n$ e $f : X \to k$ é uma função regular, então há um polinômio $p$ sobre $k$ de tal modo que $f (x) = p (x)$ para todos $x \in X$.
De forma geral:
Deixei $X$ ser um subconjunto fechado de $k^n$, deixei $q$ ser um polinômio sobre $k$, e deixar $U = \{ x \in X : q (x) \ne 0 \}$. E se$f : U \to k$ é uma função regular, então existe um número inteiro positivo $m$ e um polinômio $p$ sobre $k$ de tal modo que $f (x) = p (x) / q (x)^m$ para todos $x \in X$.
Além disso, se $U$ é denso em $X$, então o homomorfismo único $k [x_1, \ldots, x_n, u] \to \mathscr{O} (U)$ enviando $x_1, \ldots, x_n$ para as respectivas funções de coordenadas $U \to k$ e $u$ para a função regular em $U$ definido por $1 / q$ tem kernel $(I (X) + (q u - 1))$, Onde $I (X)$ é o ideal de polinômios desaparecendo em $X$.
Na verdade, desde $f : U \to k$ é uma função regular, existem polinômios $p_1$ e $q_1$ de tal modo que $q_1 (x) \ne 0$ para todos $x \in U$ e $f (x) = p_1 (x) / q_1 (x)$ para todos $x \in U$. Pelo Nullstellensatz,$\sqrt{I (X) + (q_1)} \supseteq \sqrt{I (X) + (q)}$; em particular, existe um número inteiro positivo$m$ e $r \in k [x_1, \ldots, x_n]$ e $s \in I (X)$ de tal modo que $q_1 r + s = q^m$. Conseqüentemente,$$\frac{p_1 (x)}{q_1 (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q_1 (x) r (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q (x)^m}$$ para todos $x \in U$, então podemos pegar $p = p_1 r$.
Dado um elemento geral de $k [x_1, \ldots, x_n, u]$, diga $p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m$, Onde $p_0, \ldots, p_m$ são polinômios em $x_1, \ldots, x_n$ sobre $k$, temos $$p_0 (x) + \frac{p_1 (x)}{q (x)} + \cdots + \frac{p_m (x)}{q (x)^m} = 0$$ para todos $x \in U$ se e apenas se $$p_0 (x) q (x)^m + p_1 (x) q (x)^{m - 1} + \cdots + p_m (x) = 0$$ para todos $x \in U$. Desde a$U$ é denso em $X$, a segunda equação realmente vale para todos $x \in X$, assim $$p_0 q^m + p_1 q^{m - 1} + \cdots + p_m \in I (X)$$ e, portanto, $$p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m \in I (X) + (q u - 1)$$como requerido. ■
O resultado de tudo isso é que, se $X$ é um subconjunto fechado irredutível de $k^n$, então o feixe $\mathscr{O}_X$ pode ser reconstruído a partir do anel $\mathscr{O} (X)$ junto com a bijeção entre os ideais máximos de $\mathscr{O} (X)$ e os pontos de $X$: o acima mostra que, para um subconjunto principal aberto $U \subseteq X$, ie $U = \{ x \in X : f (x) \ne 0 \}$ para alguns $f \in \mathscr{O} (X)$, o anel $\mathscr{O} (U)$ é a localização de $\mathscr{O} (X)$ com respeito ao conjunto multiplicativo $\{ 1, f, f^2, \ldots \}$. É fácil verificar se os mapas de restrição são os óbvios. Uma vez que os principais subconjuntos abertos de$X$ formar uma base para a topologia de $X$, isso determina o feixe $\mathscr{O}_X$. Módulo a introdução de ideais primos não máximos, é exatamente assim que se constrói o feixe de estrutura para um esquema afim geral.