Existe uma expressão de forma fechada para $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$?

Dec 14 2020

Eu gostaria de perguntar se para $|x|<1$, podemos expressar o produto $\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n^3})$ Como uma função $f(x)$. Tentei usar o teorema de fatoração de Weierstrass, mas sem muito sucesso.

Eu realmente apreciaria uma referência ou uma solução.

Respostas

4 metamorphy Dec 14 2020 at 18:49

Como já notado nos comentários, a expressão pode ser obtida a partir dos infinitos produtos para $\Gamma$(um de Euler ou de Weierstrass ):$$\Gamma(1+z)=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1+1/n)^z}{1+z/n}=e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\frac{e^{z/n}}{1+z/n},$$ e o "algébrico" $1-x/n^3=(1-x^{1/3}/n)(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3}/n)(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3}/n)$, dando $$\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x}{n^3}\right)=\Big(\Gamma(1-x^{1/3})\Gamma(1-e^{2\pi i/3}x^{1/3})\Gamma(1-e^{-2\pi i/3}x^{1/3})\Big)^{-1}.$$Isso se aplica facilmente a "produtos infinitos racionais" mais gerais, conforme descrito aqui .

1 sirous Dec 14 2020 at 19:04

Comente:

O limite deste produto pode ser encontrado usando a desigualdade de Weierstrassn:

E se $a_1, a_2, a_3, \ldots,a_n$ são inteiros positivos reais menores que a unidade e:

$S_n=(a_1+a_2+a_3+ \cdots+a_n)<1$

então:

$1-S_n<(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3) \cdots (1-a_n)<\frac 1 {1+S_n}$

Onde podemos deixar:

$a_n=\frac x {n^3}$