Expectativa condicional com condicionamento múltiplo
Para qualquer trailer$X$e$Y$:
$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$
Mas não consigo provar isso. Tentei usar a Lei de Adão com condicionamento extra ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$) mas eu não pareço chegar a lugar nenhum com isso.
O que eu tentei é o seguinte:
$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$desde o evento$X$aconteceu e$g(X)$aconteceu são equivalentes, condicionando em ambos$X$e$g(X)$é o mesmo que condicionar apenas um deles. Existe alguma interpretação intuitiva disso?
Isso também significa que o condicionamento em$X$ou qualquer função$g$do$X$é o mesmo ?
Respostas
Este é um caso especial da Propriedade da Torre das Expectativas Condicionais, que afirma que se$\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$então$$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$Use a segunda dessas igualdades, com$\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$e$\mathcal F_2=\sigma(X)$.
O argumento que você já tem é um bom argumento de teoria não-medida. Vou apenas formalizar isso abaixo, pode ajudar a dar confiança sobre alguns detalhes.
Usando sua estrutura de argumento: Deixe$g(X)=E[Y|X]$. Então\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}onde (a) usa a lei das expectativas iteradas; (b) usa$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; (c) usa$E[Z|Z]=Z$para qualquer variável aleatória$Z$.$\Box$
A etapa (b) examinada mais de perto é:$$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$e isso intuitivamente significa que se já sabemos$X$, então as informações adicionais$g(X)$não acrescenta nada de novo.
Notas:
Condicionado em$X$geralmente não é o mesmo que condicionamento em$g(X)$, mas funciona neste problema específico.
Uma derivação da teoria da medida poderia ser dada ao longo das linhas do meu primeiro comentário sobre sua resposta. Você também pode justificar$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$mais formalmente pela teoria da medida ("a álgebra sigma gerada por$(g(X),X)$é o mesmo que a álgebra sigma gerada por$X$").
Uma definição de teoria de medida formal fala sobre "versões de" uma expectativa condicional, e não entro em tantos detalhes nesta resposta (algumas pessoas podem querer substituir minhas igualdades por igualdades que mantêm "com probabilidade 1").