Família de funções com $f(0) = 0$ e $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$ é normal
Eu tenho a seguinte pergunta
Deixei $B$ seja o conjunto de funções $f$, que são analíticos no disco da unidade $\mathbb{D}$ e satisfazer ambos $f(0) = 0$ e $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$. Provar que$B$ é uma família normal.
Há algumas partes da minha resposta sobre as quais não tenho certeza.
Considere a família traduzida $g(z) = f(z) - 1$ que leva valores em $\mathbb{C} - [0,1]$. Desde a$g(\mathbb{D})$ é simplesmente conectado e diferente de zero, podemos definir ramos analíticos de valor único de $\sqrt{g(z)}$ dentro $g(\mathbb{D})$. Depois de obter uma raiz quadrada, todos os valores de$\sqrt{g(z)}$estão contidos em um meio plano onde a linha que separa os meios planos contém a origem. Então, após uma possível rotação, podemos assumir que$\sqrt{g(\mathbb{D}})$está contido no meio plano esquerdo. Agora, posso aplicar as técnicas usadas nesta resposta$\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(D(0,1))$ com $Re f>0$ e $f(0)=1$é uma família normal para mostrar que a família traduzida (daí$B$) é uma família normal.
Uma coisa que não tenho certeza é se posso dizer que todos os valores de $\sqrt{g(z)}$estão contidos em um meio plano onde a linha que separa os meios planos contém a origem. Isso parece verdade, mas não tenho certeza. Além disso, não estou usando toda a força do fato$f(\mathbb{D}) \cap [1,2] =\emptyset$ como eu realmente preciso apenas $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \emptyset$.
Qualquer comentário ou sugestão será muito apreciado.
Respostas
A sua ideia não funciona bem e o facto de não utilizar a suposição de que um intervalo não degenerado foi deixado fora do intervalo deve servir como um sinal de aviso (mas claro que não é em si uma prova de que o argumento não pode funcionar )
Para ver isso $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \varnothing$ não implica normalidade da família considera as funções $$f_k(z) = 1 - e^{kz}$$ para $k \in \mathbb{N}$. Nós temos$f_k(\mathbb{C}) \cap \{1\} = \varnothing$ para todos $k$e $f_k(0) = 1 - 1 = 0$. Mas$f_k(z)$ converge localmente uniformemente para $\infty$ no meio plano direito, e converge localmente de maneira uniforme para $1$no meio plano esquerdo. A sequência não converge localmente de maneira uniforme em nenhum ponto do eixo imaginário.
O primeiro erro em seu argumento é a afirmação de que $g(\mathbb{D})$está simplesmente conectado. Não precisa ser, considere, por exemplo$$g(z) = -\exp \biggl(\frac{1 + z}{1-z} - 1\biggr)\,,$$ Onde $g(\mathbb{D})$ é o complemento (no plano) de um pequeno disco ao redor $0$. A conexão simples de$\mathbb{D}$ garante a existência de uma raiz quadrada holomórfica $\sqrt{g(z)}$, mas a imagem disso ainda pode ser toda $\mathbb{C}\setminus \{0\}$.
Mas a ideia básica de usar a raiz quadrada para obter uma família de funções holomórficas com imagem contida em um meio-plano funciona, só precisa ser um pouco diferente.
Considere a transformação de Möbius $$T \colon w \mapsto 2\cdot\frac{w-1}{w-2}\,.$$ Isso mapeia o intervalo fechado $[1,2]$ para $[-\infty, 0]$e $T(0) = 1$.
Usando isso, podemos considerar a família $$\tilde{B} = \Biggl\{ z \mapsto \sqrt{2\cdot \frac{f(z) - 1}{f(z) - 2}} : f \in B\Biggr\}$$ onde o ramo principal da raiz quadrada é usado.
Agora, $\tilde{B}$é apenas a família considerada na questão vinculada, portanto sabemos que é uma família normal. Então, resta deduzir a normalidade de$B$a partir desse. (E se$(h_k)$ é uma sequência convergente localmente uniforme, então $(F\circ h_k)$ também é localmente convergente uniformemente sob condições moderadas em $F$.)