grupo semidireto e grupo metacíclico

Question

Deixei $G$ e $H$ ser grupos e $\theta : H \to Aut G$um homomorfismo. Definir$G\times_{\theta}H$ é chamado de produto semidireto de $G$ e $H$.

Deixei $C_{p}=\langle a\rangle$ e $C_{q}=\langle b\rangle$ ser grupos cíclicos (multiplicativos) de ordens principais $p$ e $q$ respectivamente tal que $p > q$ e $q\mid p — 1$.

uma. O mapa$\alpha:C_{p}\to C_{p}$ dado por $a^{i}\mapsto a^{si}$ é um automorfismo.

b. O mapa$\theta:C_{q}\to Aut C_{q }$ dado por $\theta(b^{i}) =\alpha^{i}$ ($\alpha$ como na parte (a)) é um homomorfismo ($\alpha^{i} = I_{C_{p}})$.

c. Se escrevermos$a$ para $(a,e)$ e $b$ para $(e,b)$, então o grupo $C_{p}\times_{\theta} C_{g}$ é um grupo de ordem $pq$, gerado por $a$ e $b$ sujeito às relações: $|a|=p$, $|b| = q$, $ba = a^{s}b$, Onde $s\not\equiv 1 (\mod p)$e $s^{q}\equiv 1 (\mod p)$. O grupo$C_{p} \times_{\theta} C_{q}$ é chamado de grupo metacíclico.

Eu tentei resolver isso, o a , desde$C_{p}=\langle a \rangle=\lbrace a^{p}|\text{$p$ is prime}\rbrace$, portanto, para alguns $s\in \mathbb{Z}$, $(s,p)=1$,nesse caso $\alpha^{s}$ também é um gerador de $C_{p}$, Agora para alguns $m\in \mathbb{Z}$ imples $s^{m}\equiv1(\mod p)$, o mapa $\alpha:C_{p}\to C_{p}$definiu um automorfismo. Calculado$\alpha^{m}(\alpha^{i})=\alpha^{m-1}(\alpha^{si}) \cdots =\alpha^{s^{m}i}=\alpha^{i}=e$.

Para b , tentei usar o teorema \ textit {Dyck}, mas não tenho certeza

Gostaria de saber como resolver isso ou alguma sugestão, agradeço

Answer 1

Deixei $q | p-1$ e $C_p = \langle a \rangle$ e $C_q = \langle b \rangle$.

Para o produto semidireto $C_p \rtimes_\theta C_q$ precisaremos definir um homomorfismo de grupo $\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$.

Teremos um grupo de ordem $pq$ e $C_p \lhd C_p \rtimes_\theta C_q$

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Primeiro $\operatorname{Aut}(C_p)$

$\alpha : C_p \to C_p$

$\alpha(a^i) = a^{si}$

será um automorfismo, que é um isomorfismo de grupo de $C_p$ para $C_p$, esse é um homomorfismo de grupo que também é uma bijeção.

Podemos mostrar que é um homomorfismo de grupo:

• $\alpha(a^i a^j) = a^{s(i+j)}$
• $\alpha(a^i)\alpha(a^j) = a^{si}a^{sj}$

e estes são iguais assim é.

E será uma bijeção se a multiplicação por $s$ é mod invertível $p$.

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$\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$

$\theta(b^i) = \alpha^i$

Vamos mostrar que este é um homomorfismo de grupo:

• $\theta(b^i b^j) = \alpha^{i+j}$ aplicando para $a^k$: $a^{s^{i+j} k}$.
• $\theta(b^i) \circ \theta(b^j) = \alpha^{i} \circ \alpha^{i}$ aplicando para $a^k$: $\alpha^{i}(a^{s^j k}) = a^{s^i s^j k}$

e estes são iguais, então este é um homomorfismo de grupo válido.

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Detalhe em $s$:

De $\alpha$ sendo invertível, exigimos que $s$ é um mod de unidade $p$.

De $\theta$ sendo um homomorfismo de grupo de $C_q$ (ie $\theta(b^q) = \theta(1)$) exigimos que $\alpha^q = 1$. Então precisamos$s^q \equiv 1 \pmod p$.

Agora sempre teremos $s^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ para que possamos obter uma raiz primitiva $r$ e observe $(s^{\frac{p-1}{q}})^q \equiv 1 \pmod p$ então encontramos um $s$ aumentando $r$ ao poder $(p-1)/q$.

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Em geral, o produto semidireto tem operação de multiplicação da seguinte forma ($b$ é um elemento geral, não o gerador de $C_q$ para a próxima linha apenas):

$$(b,g)(c,h) = (b \theta(g)(c), gh)$$

Então, no nosso caso

$$ba = (1,b)(a,1) = (\theta(b)(a),b) = (\alpha(a),b) = (a^{s}, b) = a^{s} b$$