Hamiltoniano para partícula de carga no campo eletromagnético em aproximação de dipolo

Question

Por que pode o hamiltoniano $$ H = \frac{1}{2m}\left(\vec{p}-q\vec{A}\right)^2+q\Phi + V $$ ser transformado em $$ H = \frac{1}{2m}\vec{p}^2 - q \vec r \vec E + V $$ na aproximação de dipolo, em que o potencial vetorial $\vec{A}$ (e, como consequência, o campo elétrico $\vec{E}$) são considerados constantes no espaço?

Até agora, encontrei três abordagens para derivar o segundo hamiltoniano.

1. Expanda a expressão quadrática e negligencie $q^2 \vec{A}^2$. Embora isso seja aplicado com frequência na literatura, na verdade não é necessário na aproximação de dipolo.
2. Transforme as funções de onda resultantes $\psi' = \exp(-\mathrm{i}\hbar^{-1}q\vec{r}\vec{A})\psi$, conforme descrito, por exemplo, em Meystre "Elements of Quantum Optics". Mas por que essa transformação é válida? Claramente, a distribuição de probabilidade$|\psi'|^2 = |\psi|^2$ não muda, mas não é exatamente uma transformação de calibre, certo?
3. Maria Goeppert-Mayer [1] afirma que o Lagrangiano correspondente ao primeiro hamiltoniano neste post é equivalente a outro Lagrangeano, que é derivado pela adição do diferencial total $\mathrm{d}_t(\vec{r} \vec{A})$. O segundo Lagrangiano pode ser convertido no segundo Hamiltoniano neste artigo. Mas por que essa adição é válida?

[1] Göppert-Mayer, Maria. "Über Elementarakte mit zwei Quantensprüngen." Annalen der Physik 401.3 (1931): 273-294.

Answer 1

Na esperança de que possa ser útil para alguns, gostaria de postar um breve resumo de minhas descobertas.

Notamos que o momento canônico $\vec{p}'$ é diferente do momento mecânico $\vec{p} = m \vec{v}$no primeiro hamiltoniano. Nosso objetivo é derivar uma forma em que ambos os momentos coincidam. Isso pode ser obtido adicionando-se um diferencial de tempo total ao Lagrangiano, conforme descrito no artigo de M. Goeppert-Mayer. Em este post e as referências nele contidas, é explicado completamente por que a equação de Euler-Lagrange é invariante para esta operação. Obrigado a @Philip por apontar isso para mim.

No âmbito do formalismo hamiltoniano, esta operação corresponde a uma transformada canônica. Aqui, achei essa resposta muito útil. Com base nessa resposta, usamos a transformação$$\vec{r}' = \vec{r}$$ $$\vec{p}' = \vec{p} + \nabla_\vec{r} F $$ $$H' = H - \partial_t F$$ e definir $F = - q \vec{r} \vec{A}$.

Notamos que o potencial do vetor $\vec{A}$ é considerada constante no espaço (pelo menos nas dimensões do sistema mecânico quântico), de modo que $$\vec{p}' = \vec{p} - q A$$ e escrever para o novo hamiltoniano $$H'(\vec{r}, \vec{p}', t) = \frac{1}{2m}\vec{p}'^2 + V + \partial_t q \vec{r} \vec{A} = \frac{1}{2m}\vec{p}'^2 + V - q \vec{r} \vec{E}.$$

Nota 1: O potencial escalar $\varphi$ geralmente é assumido como zero nas derivações que vi até agora.

Nota 2: Ao abordar a sutileza mencionada aqui , é útil saber que$\partial_{\vec{r}}^2 F = 0$.