Integração de $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$

Dec 31 2020

Eu queria integrar $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$.
O que eu sei é que$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ onde a soma é total $2^{n-1}$ possível $\pm$.
Mas obviamente isso é difícil de integrar.
A partir disso , vim a saber sobre a fórmula de Werner que considero muito menos complicada para resolver o problema acima. Mas eu não sei como colocar esta fórmula para um arbitrário$n$ para o problema fornecido.

Obrigado por me ajudar com antecedência.

Respostas

1 HenryLee Dec 31 2020 at 05:56

Sua pergunta é: $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ poderíamos tentar usar o fato de que: $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ e então diga: $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ esta primeira parte é bastante fácil de fazer: $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ agora a parte difícil é calcular: $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ e, em seguida, obviamente integrando qualquer que seja o resultado