Intuitivamente, qual é a sobreposição / diferença geral entre as transformações conformes e ortogonais, ou os termos em geral?

Question

Tenho tido dificuldade em encontrar uma definição clara sobre as diferenças entre os dois em termos práticos / geométricos. As transformações ortogonais são aquelas em que as superfícies coordenadas ou trajetórias se encontram em ângulos retos, e as transformações conformes são aquelas que preservam os ângulos.

Eu posso ver como as noções se sobrepõem, e tenho uma vaga intuição de como elas são diferentes, mas estou tendo problemas para esclarecer sua distinção exata, especificamente no contexto do cálculo diferencial / vetorial com respeito a conceitos como o Jacobiano e suas propriedades de preservação de área , equações diferenciais para trajetórias ortogonais, transformadas integrais, etc.

Ou, em termos mais diretos, quando algo é ortogonal, mas não conforme, e vice-versa, e quando os dois são?

Answer 1

Um mapa linear conforme é a composição de uma homotetia (trecho) e um mapa linear ortogonal.

Answer 2

A parte mais importante da intuição é esta: transformações ortogonais especiais são rotações. As transformações ortogonais são rotações mais reflexos. As transformações conformes são rotações mais dilatações. As transformações conformadas e anticonformadas são rotações mais dilatações mais reflexões.

Matematicamente falando, isso significa: As transformações ortogonais preservam o produto escalar. As transformações ortogonais especiais também preservam a orientação (determinante positivo). As transformações conformes e anticonformais preservam os ângulos. As transformações conformes também preservam a orientação (determinante positivo). Mais precisamente, transformações ortogonais$T$ satisfazer

$$\langle Tv,Tw\rangle=\langle v,w\rangle,$$

enquanto transformações ortogonais especiais satisfazem adicionalmente

$$\det T>0.$$

Pode até ser mostrado que as transformações ortogonais já satisfazem $\det T=\pm1$, fazer $\det T=1$para transformações ortogonais especiais. Transformações conformes e anticonformais$S$ satisfazer

$$\frac{\langle Sv,Sw\rangle}{\Vert Sv\Vert\Vert Sw\Vert}=\frac{\langle v,w\rangle}{\Vert v\Vert\Vert w\Vert},$$

(para $v,w\neq0$) enquanto os mapas conformes satisfazem adicionalmente $\det S>0$. Pode-se mostrar que isso torna as transformações (anti) conformes iguais a mapas ortogonais multiplicados por uma constante diferente de zero. As transformações (anti) conformes são, portanto, transformações ortogonais com uma dilatação adicionada. Se chamarmos os vários grupos que contêm essas transformações$\operatorname{O},\operatorname{SO}$ (ortogonal e ortogonal especial), $\operatorname{CO}$ (conformal mais anticonformal), e $\operatorname{CSO}$ (apenas conforme), então temos as seguintes relações:

$$ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{O}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{CSO}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{CO}=I\cdot\operatorname{O}\\ \operatorname{CSO}=I\cdot\operatorname{SO},$$

Onde $I$ é o grupo de dilatações.