Inverso à direita se e somente se em

Aug 16 2020

Estou tentando provar o seguinte resultado.

Provar que $f: X \to Y$é sobre se e somente se possui um inverso correto. Em seguida, prove que este inverso não é necessariamente único (ou seja, quando$f$ não é injetivo).

Aqui está o que eu vim com, embora em particular, minha "prova" de falta de exclusividade não seja muito rigorosa.

Prova. Suponha$f: X \to Y$é sobrejetora. Deixei$y \in Y$, então existe $x \in X$ de tal modo que $f(x) = y$. Embora isso$x$ pode não ser único, nós definimos o mapeamento $g: Y \to X$ pela regra $g(y) = x$, usando o Axioma da Escolha. Para qualquer um$y$ com a propriedade que $g(y) = x$, temos: $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ então $f \circ g = i_Y$e $g$é um inverso certo. Por outro lado, suponha$f$ possui um inverso correto, $g: Y \to X$ com a propriedade que $f \circ g = i_Y$. Deixei$y \in Y$. Então$g(y) = x$ para alguns $x \in X$. Então, observamos que$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ então $f$é sobrejetora. Este inverso correto não é único porque precisamos invocar o Axioma da Escolha para definir$g(y) = x$ para alguns $x$. No caso de$f$ não é injetivo, dado qualquer $y \in Y $, existem potencialmente infinitas $x$ de tal modo que $f(x) = y$, e poderíamos definir $g(y)$ para ser igual a qualquer um desses x, cada um dos quais forneceria um inverso de direita igualmente válido.

Como é essa prova? Este é um uso apropriado de escolha? Existe uma maneira de tornar a prova de falta de exclusividade mais rigorosa?

Desde já, obrigado.

Respostas

2 AliasK Aug 16 2020 at 06:33

Sua prova se e somente se parece muito boa para mim. No entanto, sua prova de não exclusividade é um pouco frágil.

Para provar a não-unicidade é suficiente (e quase sempre mais fácil) mostrá-la por um exemplo. Você pode inventar qualquer exemplo, mas aqui está o primeiro que me veio à cabeça.

Suponha que $X=\mathbb{R}^2$ e $Y=\mathbb{R}$ com $f:X\to Y$ ser $f(x,y)=x$. Claramente esta função está ativada. Agora defina o seguinte mapa$S_1:Y\to X$ de $S_1(x)=(x,0)$. Não deve demorar muito para te convencer de que$f(S_1(x))=i_Y$.

Além do mapa $S_2:Y\to X$ definido por $S_2(x)=(x,x)$ também dará $S_2(f(x))=i_Y$. Mas$S_1\neq S_2$ portanto, mostramos que há duas funções que produzem o resultado desejado que não são iguais (e, portanto, o inverso não precisa ser único).