Limite o valor próprio mínimo de uma matriz simétrica por meio de normas de matriz

Dec 14 2020

Estou lendo um artigo em que os autores provam uma desigualdade da seguinte forma:

$$\lVert H-H'\rVert_2 \leq \lVert H-H'\rVert_F \leq \epsilon \tag 1$$

Aqui $H$ e $H'$ são matrizes reais simétricas ($H'$ tem todos os valores próprios positivos, se isso importa), e as normas são as $L_2$norma da matriz e a norma de Frobenius, respectivamente. Sem justificativa, os autores afirmam:

$$\lambda_\text{min}(H) \geq \lambda_\text{min}(H') - \epsilon \tag 2$$

Onde $\lambda_\text{min}$ é o autovalor mínimo de uma matriz.

Não vejo como justificar isso, ou mesmo se (2) se destina a ser deduzido de (1). Aqui está o papel - o fim da prova do Lema 3.2, página 6.

Respostas

1 JackM Dec 14 2020 at 22:46

Esta resposta é baseada nesta . A seguir, estaremos trabalhando com algum produto interno arbitrário e, quando pegamos a norma de uma matriz, isso significa a norma do operador associada à norma vetorial que estamos usando. Nós temos:

Teorema. E se$A$ e $B$ são realmente simétricos, então:

$$\lambda_\text{min} (A) \geq \lambda_\text{min} (B) - \lVert A-B\rVert$$ $$\lambda_\text{max} (A) \leq \lambda_\text{max} (B) + \lVert A-B\rVert$$

Para provar isso, a chave é a expressão $x^T Mx$, Onde $M$ é uma matriz simétrica e $x$tem norma de unidade. Precisamos de dois lemas sobre esta expressão.

Lema 1. Para qualquer matriz$M$ e qualquer norma de unidade $x$: $$-\lVert M\rVert \leq x^T Mx\leq \lVert M\rVert$$ Prova. Aplicação simples de Cauchy-Schwartz e da definição de uma norma de operador:$$|x^TMx|\leq\lVert x\rVert \lVert Mx\rVert\leq \lVert x\rVert^2 \lVert M\rVert=\lVert M\rVert$$

Lema 2. Para qualquer matriz simétrica$M$ e qualquer norma de unidade $x$: $$\lambda_\text{min}(M) \leq x^T M x \leq \lambda_\text{max}(M)$$ e os limites são alcançados como $x$ varia na esfera unitária.

Prova. Deixei$M=P^TDP$ Onde $P$ é ortogonal e $D$é diagonal. Então$$x^TMx = (Px)^TD(Px)$$ Como $x$ varia na esfera unitária, $Px$ varia também ao longo de toda a esfera unitária, portanto, o intervalo da última expressão acima é simplesmente o intervalo de $y^TDy$ Como $y$varia sobre a esfera unitária. Pela desigualdade de rearranjo e alguns outros argumentos simples, o mínimo é alcançado quando$y$ é um autovetor associado com $\lambda_\text{min}(M)$ e o máximo quando $y$ é um autovetor associado com $\lambda_\text{max}(M)$.

Finalmente, podemos provar o teorema. Para qualquer norma de unidade$x$, temos

$$x^TAx = x^TBx + x^T(A-B)x$$

Ao aplicar o Lema 1 ao segundo termo e o Lema 2 ao primeiro termo, o mínimo do lado esquerdo é pelo menos $\lambda_\text{min} (B)-\lVert A-B\rVert$. Pelo Lema 2, sabemos que o mínimo do lado esquerdo é igual a$\lambda_\text{min} (A)$. Um argumento semelhante mostra a outra desigualdade do teorema.