Mostra isso $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ tem uma solução única em $\mathbb{R}$

Question

Mostra isso $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ tem uma solução única em $\mathbb{R}$.

Este é um resultado de um dos problemas em Berkeley Problems in Mathematics.

Minha solução (tentativa) é muito mais curta do que a apresentada pelos autores (eles mostram que existe uma solução única em alguma vizinhança de $(0,54)$ usando uma versão local do teorema de Picard e, em seguida, use IFT para encontrar uma solução explícita nesta vizinhança e provar que esta solução é válida em $\mathbb{R}$), então eu queria verificar se não havia esquecido algo.

Aqui está minha solução:

Deixei $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. Consertar$h >0$. Por propriedades básicas de funções contínuas$f$ é contínuo em $[-h,h] \times \mathbb{R}$ e, além disso, Lipschitz em $y$nesta tira. Isso segue de,

$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ e o MVT.

O teorema de Picard se aplica e vemos que o IVP tem uma solução única em $[-h,h]$.

Mas $h$ era arbitrário, então o IVP tem uma solução para todos os $\mathbb{R}$. $\blacksquare$

Isso está correto? Em geral, estou um pouco inseguro sobre como provar a singularidade / existência de soluções globais ... continuação analítica ou Picard global ?!

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Observe que a versão do teorema de Picard que estou usando é

O IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$, tem uma solução única em $\mathbb{R}$ forneceu, $\forall h:$

• $f$ é contínuo em $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$

• $f$ Lipschitz está em você $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.

Answer 1

Sua ideia está correta. Com um lado direito sublinear, você obtém uma solução global. A ideia da prova é explorada, por exemplo, em

• Existência de solução para ODE de primeira ordem. O que há para ser provado?
• Desigualdade na prova de solução única de uma ODE

O problema com sua fonte pode ser que eles não se esforçaram para provar essa versão mais global do teorema após a versão padrão localizada. Portanto, eles precisam montar a solução a partir de muitas soluções locais.

Observe que, com a formulação de sua condição, você só obtém uma solução em $[a-h,a+h]$, o que não deveria ser surpresa, pois este é o domínio explorado da ODE.